Calcule.

lim x → π 2 ⁡ 1 - sen ⁡ x 2 x - π

Passo 1

Para resolvermos esse limite, temos que aplicar uma mudança de variáveis:

Vamos chamar x - π 2 = h , então x = h + π 2 de modo que quando x tende a x 2 , temos que h tende a zero.

Reescrevendo o limite, temos:

lim x → π 2 ⁡ 1 - sen ⁡ x 2 x - π = lim h → 0 ⁡ 1 - sen ⁡ h + π 2 2 h

Sabemos que o seno da soma é:

sen ⁡ a + b = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a

Então:

lim x → π 2 ⁡ 1 - sen ⁡ x 2 x - π = lim h → 0 ⁡ 1 - sen ⁡ h + π 2 2 h = lim h → 0 ⁡ 1 - sen ⁡ h cos ⁡ π 2 + sen ⁡ π 2 cos ⁡ h 2 h

lim x → π 2 ⁡ 1 - sen ⁡ x 2 x - π = lim h → 0 ⁡ 1 - sen ⁡ h 0 + cos ⁡ h 2 h = lim h → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ h 2 h

Passo 2

Precisamos então, resolver lim h → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ h 2 h :

Podemos multiplicar o numerador e o denominador por 1 + cos ⁡ x , o que nos dá:

1 - cos ⁡ h 2 h = 1 - cos ⁡ h 1 + cos ⁡ h 2 x 1 + cos ⁡ h = 1 - cos 2 ⁡ h 2 h 1 + cos ⁡ h

Pela relação trigonométrica, sabemos que:

sen 2 ⁡ a + cos 2 ⁡ a = 1

Assim:

cos 2 ⁡ h - 1 = sen 2 ⁡ h

Então, a nossa função pode ser reescrita como:

1 - cos 2 ⁡ h 2 h 1 + cos ⁡ h = sen 2 ⁡ h 2 h 1 + cos ⁡ h

Multiplicando por h h temos o limite:

lim h → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ h 2 h = lim h → 0 ⁡ h sen 2 ⁡ h 2 h 2 1 + cos ⁡ h = 1 2 × lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h h 2 × h 1 + cos ⁡ h

= 1 2 lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h 2 × h 1 + cos ⁡ h

Passo 3

Se o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos:

lim h → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ h 2 h = 1 2 lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h 2 × lim h → 0 ⁡ h 1 + cos ⁡ h = 1 2 lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h 2 × lim h → 0 ⁡ h 1 + cos ⁡ h

Resolvendo o limite, temos:

lim h → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ h 2 h = 1 2 lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h 2 × lim h → 0 ⁡ h 1 + cos ⁡ h = 1 2 × 1 2 × 0 1 + 1 = 0

lim h → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ h 2 h = 0

Logo:

lim x → π 2 ⁡ 1 - sen ⁡ x 2 x - π = 0

Resposta

lim x → π 2 ⁡ 1 - sen ⁡ x 2 x - π = 0

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