Encontre os limite:

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é subsitutir o valor de x no limite:

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x = 0 sen ⁡ 0 2 - 2 cos ⁡ 0 = 0 2 - 2 = 0 0

Opa, deu indeterminação. Como temos um seno ali no meio com x indo para 0 , vamos tentar fazer uma manipulação algébrica para chegar no limite fundamental trigonométrico:

Lembrando que o limite fundamental trigonométrico é:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Mas calma, o nosso limite fundamental trigonométrico so funciona se o termo dentro do seno for igual ao termo no denominador. Precisamos fazer:

x sen ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x ∙ x 2 x 2

Pera, mas porque tu fez x 2 ? Repare que tem um x junto do seno, se fizéssemos só x , ele ia simplificar não ia sobrar nenhum x para fazer o limite fundamental.

x sen ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x ∙ x 2 x 2 = sen ⁡ x x ∙ x 2 2 - 2 cos ⁡ x

Terminamos com:

sen ⁡ x x ∙ x 2 2 - 2 cos ⁡ x

Passo 2

Voltando com aquela expressão para o limite:

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x ∙ x 2 2 - 2 cos ⁡ x

Pelas prórpriedades de limites, podemos fazer:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x ∙ x 2 2 - 2 cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x ∙ lim x → 0 ⁡ x 2 2 - 2 cos ⁡ x

O primeiro é o limite fundamental trigonométrico.

Assim, vamos acaba com:

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x ∙ lim x → 0 ⁡ x 2 2 - 2 cos ⁡ x = 1 ∙ 0 2 2 - 2 cos ⁡ 0 = 1 ∙ 0 0

Rapaz, ainda tem indeterminação. E agora? Vamos olahr para aquele limite

lim x → 0 ⁡ x 2 2 - 2 cos ⁡ x

No próximo passo

Passo 3

Esse maldito

lim x → 0 ⁡ x 2 2 - 2 cos ⁡ x

Atrapalhou tudo. Temos que tentar resolver o problema dele também. Para isso, vamos fazer:

x 2 2 - 2 cos ⁡ x = x 2 2 1 - cos ⁡ x

Multiplicando por 1 + cos ⁡ x no numerador e no denominador, vamos ter:

x 2 2 1 - cos ⁡ x = x 2 2 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = x 2 1 + cos ⁡ x 2 1 - cos 2 ⁡ x

Lembrando que:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Vamos ter:

x 2 1 + cos ⁡ x 2 sen 2 ⁡ x

Arrumando isso par aparecer o limite fundamental trigonométrico:

x 2 1 + cos ⁡ x 2 sen 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ x 2 sen 2 ⁡ x x 2 = 1 + cos ⁡ x 2 sen ⁡ x x 2

Passo 4

Vamos voltar para o limite que atrapalhou tudo:

lim x → 0 ⁡ x 2 2 - 2 cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ x 2 sen ⁡ x x 2 = 1 + cos ⁡ 0 2 lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 2 = 2 2 = 1

O nosso limite original vai ficar:

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x ∙ lim x → 0 ⁡ x 2 2 - 2 cos ⁡ x = 1 ∙ 1 = 1

Resposta

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