Enunciado

Encontre os limite:

underset(x -> 0)(lim) (x sen (x))/(2 - 2 cos x)

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é subsitutir o valor de x no limite:

underset(x -> 0)(lim) (x sen (x))/(2 - 2 cos x) = (0 sen (0))/(2 - 2 cos 0) = (0)/(2 - 2) = (0)/(0)

Opa, deu indeterminação. Como temos um seno ali no meio com x indo para 0 , vamos tentar fazer uma manipulação algébrica para chegar no limite fundamental trigonométrico:

Lembrando que o limite fundamental trigonométrico é:

underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) = 1

Mas calma, o nosso limite fundamental trigonométrico so funciona se o termo dentro do seno for igual ao termo no denominador. Precisamos fazer:

(x sen (x))/(2 - 2 cos x) * (x^2)/(x^2)

Pera, mas porque tu fez x^2 ? Repare que tem um x junto do seno, se fizéssemos só x , ele ia simplificar não ia sobrar nenhum x para fazer o limite fundamental.

(x sen (x))/(2 - 2 cos x) * (x^2)/(x^2) = (sen (x))/(x) * (x^2)/(2 - 2 cos x)

Terminamos com:

(sen (x))/(x) * (x^2)/(2 - 2 cos x)

Passo 2

Voltando com aquela expressão para o limite:

underset(x -> 0)(lim) (x sen (x))/(2 - 2 cos x) = underset(x -> 0)(lim) (sen (x))/(x) * (x^2)/(2 - 2 cos x)

Pelas prórpriedades de limites, podemos fazer:

underset(x -> 0)(lim) (sen (x))/(x) * (x^2)/(2 - 2 cos x) = underset(x -> 0)(lim) (sen (x))/(x) * underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(2 - 2 cos x)

O primeiro é o limite fundamental trigonométrico.

Assim, vamos acaba com:

underset(x -> 0)(lim) (x sen (x))/(2 - 2 cos x) = underset(x -> 0)(lim) (sen (x))/(x) * underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(2 - 2 cos x) = 1 * (0^2)/(2 - 2 cos 0) = 1 * (0)/(0)

Rapaz, ainda tem indeterminação. E agora? Vamos olahr para aquele limite

underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(2 - 2 cos x)

No próximo passo

Passo 3

Esse maldito

underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(2 - 2 cos x)

Atrapalhou tudo. Temos que tentar resolver o problema dele também. Para isso, vamos fazer:

(x^2)/(2 - 2 cos x) = (x^2)/(2 (1 - cos x))

Multiplicando por 1 + cos x no numerador e no denominador, vamos ter:

(x^2)/(2 (1 - cos x)) = (x^2)/(2 (1 - cos x)) (1 + cos x)/(1 + cos x) = (x^2 (1 + cos x))/(2 (1 - cos^2 x))

Lembrando que:

sen^2 x + cos^2 x = 1

Vamos ter:

(x^2 (1 + cos x))/(2 sen^2 x)

Arrumando isso par aparecer o limite fundamental trigonométrico:

(x^2 (1 + cos x))/(2 sen^2 x) = ((1 + cos x))/((2 sen^2 x)/(x^2)) = ((1 + cos x))/(2 ((sen x)/(x))^2)

Passo 4

Vamos voltar para o limite que atrapalhou tudo:

underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(2 - 2 cos x) = underset(x -> 0)(lim) ((1 + cos x))/(2 ((sen x)/(x))^2) = ((1 + cos 0))/(2 (underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x))^2) = (2)/(2) = 1

O nosso limite original vai ficar:

underset(x -> 0)(lim) (x sen (x))/(2 - 2 cos x) = underset(x -> 0)(lim) (sen (x))/(x) * underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(2 - 2 cos x) = 1 * 1 = 1

Resposta

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lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ 3 x
underset(x - 0)(lim) (x^2 + 3 x)/(sin x)
lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 3 x 2 + 2 x
lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x 2 x 2
underset(x - 0)(lim) (1 - cos 2 x)/(sin 3 x)