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Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 4.4 - Ex. 40

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Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → a + ⁡ cos ⁡ x   ln ⁡ ( x - a ) ln ⁡ ( e x - e a )

Passo 1

Precisamos calcular o limite usando, se for possível, a regra de L’Hospital. É importante lembrar que só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou / . Todavia, caso seja mais fácil calcular o limite outra forma, devemos utilizá-la!!!

Passo 2

Susbituindo x por a temos que

cos ⁡ x   ln ⁡ ( x - a ) ln ⁡ ( e x - e a ) →   cos ⁡ a   ln ⁡ 0 ln ⁡ 0 → cos ⁡ a   ∞ ∞

Assim , o limite é indeterminado do tipo / e podemos aplicar a regra de L’Hospital. Mas antes disso, vamos separar o limite em

lim x → a + ⁡ cos ⁡ x   ln ⁡ ( x - a ) ln ⁡ ( e x - e a ) = lim x → a + ⁡ cos ⁡ x ⋅ lim x → a + ⁡ ln ⁡ x - a ln ⁡ e x - e a = cos ⁡ a ⋅ lim x → a + ⁡ ln ⁡ x - a ln ⁡ e x - e a

A indeterminação está no segundo limite, então é ele que devemos calcular primeiro.

Passo 3

Vamos calcular o limite indeterminado do tipo / :

lim x → a + ⁡ ln ⁡ x - a ln ⁡ e x - e a

Usando a regra de L’Hospital:

lim x → a + ⁡ ln ⁡ x - a ln ⁡ e x - e a = lim x → a + ⁡ 1 x - a e x e x - e a = lim x → a + ⁡ e x - e a x - a   e x = 1 e a ⋅ lim x → a + ⁡ e x - e a x - a

Devemos calcular então o limite indeterminado do tipo 0/0:

lim x → a + ⁡ e x - e a x - a

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hospital:

lim x → a + ⁡ e x - e a x - a = lim x → a + ⁡ e x 1 = e a

Assim,

lim x → a + ⁡ ln ⁡ x - a ln ⁡ e x - e a = 1 e a ⋅ e a = 1

E, desta forma,

lim x → a + ⁡ cos ⁡ x   ln ⁡ ( x - a ) ln ⁡ ( e x - e a ) = cos ⁡ a ⋅ 1 = cos ⁡ a

Resposta

cos ⁡ a .

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