Enunciado

Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo:

lim x → 0 ⁡ x 2 ln ⁡ ( sec ⁡ ( x ) )  

Passo 1

Vamos aplicar a Regra de l’Hôpital. Esse teorema diz que se exitir funções tais que f a = g a = 0 , em que f e g sejam deriváveis em um certo intervalo aberto I contendo a e que g ' x ≠ 0 nesse interevalo se x ≠ a , então :

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f ' x g ' x

Para determinar

lim x → a ⁡ f x g x

pela regra de l’Hôpital você deve derivar f e g separadamente enquanto obter a forma 0/0 em x = a , ou seja, deriva o de cima e o de baixo separado (sem utulizar a forma da derivada do quociente) até não possuir mais indeterminação quando aplicar o limite.

Assim, temos que:

lim x → 0 ⁡ x 2 ln ⁡ ( sec ⁡ ( x ) )   = lim x → 0 ⁡ 2 x 1 sec ⁡ ( x ) ( sec ( ⁡ x )   t g   ( x ) )

Simplificando:

lim x → 0 ⁡ 2 x 1 sec ⁡ ( x ) ( sec ( ⁡ x )   t g   ( x ) ) = lim x → 0 ⁡ 2 x t g   ( x )

Retomando a operação e simplificando mais uma vez, temos:

lim x → 0 ⁡ 2 x t g   ( x ) = lim x → 0 ⁡ 2 sec 2 ⁡ ( x ) = lim x → 0 ⁡ 2 1 cos 2 ⁡ ( x ) =   2

Resposta

2

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