Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ ( 2 x ) ln ⁡ x  

Passo 1

Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada ou não.

Analisando o limite dado pelo enunciado, vemos que quando x → 0 + ,

arctan ⁡ ( 2 x ) → 0

ln ⁡ x → - ∞

Para ser apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo 0 0 ou ± ∞ ± ∞   .

Neste caso, obtemos a forma 0 - ∞ , logo a Regra de l’Hôspital não é aplicável.

Passo 2

Para resolver este limite, vamos considerar as seguintes informações.

Sabemos que uma das propriedades do limite é

lim x → a ⁡ f x g ( x ) = lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x

onde lim x → a ⁡ g x ≠ 0 .

Também sabemos que

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ ( 2 x ) = 0

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Logo, temos que

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ ( 2 x ) ln ⁡ x = 0 - ∞ = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ ( 2 x ) ln ⁡ x = 0

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