Enunciado

Algumas populações inicialmente crescem exponencialmente porém, eventualmente, o crescimento diminui. Equações da forma

P t = M 1 + A e - k t

onde M ,   A e k são constantes positivas, são chamadas de Equações Logísticas e são frequentemente usadas para moldar tais populações. Aqui M é chamado de Capacidade de Carregamento e representa o maior tamanho de população que pode ser suportado, e A = M - P 0 P 0 , onde P 0 é a população inicial.

  1. Compute lim t → ∞ ⁡ P ( t ) . Explique por que a sua resposta já era esperada.
  2. Compute lim M → ∞ ⁡ P ( t ) . (note que A é definido em termos de M ). Qual tipo de função seu resultado apresenta?

Passo 1

Vamos analisar os dados dados pela questão:

Sabemos que P ( t ) é uma Equação Logística da forma

P t = M 1 + A e - k t

O enunciado nos dá as seguintes constantes:

M : Capacidade de Carregamento (maior tamanho que a população atinge);

P 0 : população inicial;

A 0 : relação entre M e P 0

A = M - P 0 P 0

k : não nos foi dado muits informações sobre k , mas sabemos que é uma constante, o que já ajuda muito.

A variável t , como na maioria das questões, representa o tempo.

A questão pede para que

  1. Encontrarmos lim t → ∞ ⁡ P ( t ) e explicar por que nossa resposta já era esperada.
  2. Encontrarmos lim M → ∞ ⁡ P ( t ) e dizer qual tipo de função nosso resultado apresenta (por exemplo: função exponencial, linear, logarítmica, hiperbólica...)

Passo 2

Vamos iniciar pela letra (a).

Temos que encontrar

lim t → ∞ ⁡ P ( t ) = lim t → ∞ ⁡ M 1 + A e - k t

Vamos aplicar nossas queridas manipulações algébricas para facilitar nossa resolução. Reescrevendo o limite acima, temos que

lim t → ∞ ⁡ M 1 + A e - k t = lim t → ∞ ⁡ M 1 + A / e k t

Como sabemos que M ,   A e k são constantes, quando t → ∞ temos que

lim t → ∞ ⁡ M 1 + A / e k t = M 1 + 0 = M

Essa resposta era esperada? Era sim! Por que?

Como foi dito no enunciado, M é o maior tamanho que a população pode ter, logo para um tempo que tende ao infinito, é esperado que a população atingirá esse tamanho máximo.

Passo 3

Em seguida vamos resolver a letra (b).

Temos que encontrar

lim M → ∞ ⁡ P ( t ) = lim M → ∞ ⁡ M 1 + A e - k t

Aqui não podemos esquecer que A é uma função de M dada por

A = M - P 0 P 0

Substituindo esse valor dentro do limite, chegamos em

lim M → ∞ ⁡ M 1 + A e - k t = lim M → ∞ ⁡ M 1 + ( M - P 0 P 0 ) e - k t

Novamente, aplicando nossas queridas manipulações algébrica, podemos reescrever o limite acima como

lim M → ∞ ⁡ M 1 + ( M P 0 - 1 ) e - k t

E agora fica a pergunta: Como resolver isso?

A Regra de l’Hôspital parece uma boa saída já que o limite acima apresenta a seguinte forma

lim M → a ⁡ f M g M

onde f M = M e g M = 1 + ( M P 0 - 1 ) e - k t .

Mas antes de sair resolvendo, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada. Para ser apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo 0 0 ou ± ∞ ± ∞   quando M → ∞ .

Quando M → ∞ , nós temos que

f M = M → ∞

g M = 1 + ( M P 0 - 1 ) e - k t → ∞

Neste caso, obtemos a forma ∞ ∞ , logo a Regra de l’Hôspital é aplicável.

Agora vamos aplicá-la para resolver este limite que vai ser sucesso!

Neste método temos que

lim M → a ⁡ f M g ( M ) = lim M → a ⁡ f ' M g ' ( M )

Chamamos f x = M e g x = 1 + ( M P 0 - 1 ) e - k t . As derivadas dessas funções são

f ' x = 1

g ' x = e - k t P 0

Substituindo esses valores, obtemos

lim M → ∞ ⁡ M 1 + ( M P 0 - 1 ) e - k t = lim M → ∞ ⁡ 1 e - k t / P 0 = 1 e - k t / P 0 = P 0 e k t

Logo, a resposta é

lim M → ∞ ⁡ M 1 + ( M P 0 - 1 ) e - k t = P 0 e k t

E nossa função P 0 e k t é uma função exponencial.

Resposta

  1. lim t → ∞ ⁡ M 1 + A / e k t = M
  2. lim M → ∞ ⁡ M 1 + ( M P 0 - 1 ) e - k t = P 0 e k t ; função exponencial.
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Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ sen - 1 ⁡ x x
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ tgh ⁡ x tg ⁡ x
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → π / 4 ⁡ 1 - t gx s
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ xs e n ( π / x