Enunciado

A velocidade de queda de um objeto pode ser definida através do modelo

v t = m g k tanh ⁡ t g k m

Com m sendo a massa do objeto, g a aceleração da gravidade, k constante, t é medido em segundos e v é a velocidade, em m/s.

Calcule a velocidade terminal do objeto, para quando uma pessoa de 60 kg cai de barriga (k =0,515 kg/s) e quando cai de pé (k = 0,067 kg/s).

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??Vamos analisar o que nosso probleminha está falando. Bom, ele nos dá a relação da velocidade de queda de um objeto e nos pede para calcular os limites (por isso a velocidade terminal, ou seja, o tempo tendendo a infinito) para as duas situações.

lim t → ∞ ⁡ v t = lim t → ∞ ⁡ m g k tanh ⁡ t g k m

E na nossa expressão, temos uma tangenye hiperbólica, por conta disso, talvez facilite se lembrarmos como ela é definida:

tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x = e x - e - x 2 e x + e - x 2

tanh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Então bora lá?

Passo 2

Dessa forma, olhando para nossa expressão, temos:

v t = m g k tanh ⁡ t g k m

Podemos perceber que apenas a tangente hiperbólica depende de t , dessa forma, podemos nos perguntar qual será o valor dessa velocidade quando t tende ao infinito, ou seja:

lim t → ∞ ⁡ v t = m g k lim t → ∞ ⁡ tanh ⁡ t g k m

Vamos olhar agora para a tangente hiperbólica:

tanh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

O que acontece como essa tangente hiperbólica quando   x tende ao infinito?

lim x → ∞ ⁡ tanh ⁡ x = l i m x → ∞ e x - 1 e x e x + 1 e x

Se aplicarmos os limites nas exponenciais que estão dividindo, teremos:

l i m x → ∞ e x - 1 e x e x + 1 e x = l i m x → ∞ e x - 1 e ∞ e x + 1 e ∞

E a função exponencial e x quando x vai pra infinito também vai pra infinito, logo:

l i m x → ∞ e x - 1 e ∞ e x + 1 e ∞ = l i m x → ∞ e x - 1 ∞ e x + 1 ∞ = l i m x → ∞ e x e x

E assim, podemos cortar e x com e x , de forma, que temos:

lim x → ∞ ⁡ tanh ⁡ x = l i m x → ∞ e x e x = 1

Ou seja, podemos dizer que o limite da função tangente hiperbólico quando seu argumento vai para infinito é igual a 1.

Passo 3

Queremos encontrar a velocidade terminal, isso é:

lim t → ∞ ⁡ v t = m g k lim t → ∞ ⁡ tanh ⁡ t g k m

E vimos que quando o argumento da tangente hiperbólica vai para infinito, seu valor vai para 1, portanto:

lim t → ∞ ⁡ tanh ⁡ t g k m = 1

Dessa forma, temos que a velocidade terminal vai ser puramente:

lim t → ∞ ⁡ v t = v T = m g k

Agora, basta substituir os valores para cada caso e encontrar a velocidade terminal.

Passo 4

No primeiro caso temos:

v T = 60 × 9,8 0,515

v T = 33,79 m / s

Já no segundo caso temos:

v T = 60 × 9,8 0,067

v T = 93,68 m / s

Resposta

v T = 33,79 m / s

E

v T = 93,68 m / s

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Use as definições de funções hiperbólicas para achar o valor do limite. lim x → ∞ ⁡ sec h ⁡ x
Encontre a derivada.f (x) = e^x cosh x
Use as definições de funções hiperbólicas para achar o valor do limite. lim x → - ∞ ⁡ csc h ⁡ x
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.f (x) = s e c h x ( 1 + ln sech x )
Use as definições de funções hiperbólicas para achar o valor do limite. lim x → ∞ ⁡ coth ⁡ x