Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 / x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que utilizemos a Regra de L'Hôspital para encontar o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 / x

Caso não seja aplicável, devemos utilizar outro método.

Lembrando que a regra de L'Hôpital é um método para calcular limites indeterminados de funções que podem resultar em formas do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ .

Consiste em derivar o numerador e o denominador separadamente quando o limite é indeterminado e avaliar novamente o limite.

Se o novo limite ainda for indeterminado, repete-se o processo até que o limite possa ser determinado. ​

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para esse limite, temos uma indeterminação do tipo ∞ 0 . Assim, vamos usar o fato y = e ln ⁡ y para alterar um pouco o limite:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 / x = lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ e x + x 1 / x = e lim x → ∞ ⁡   1 x ln ⁡ e x + x

Assim, o limite que realmente importa para você é

lim x → ∞ ⁡   1 x ln ⁡ e x + x

Este limite é indeterminado do tipo ∞ / ∞ : podemos aplicar a regra de L’Hospital para calculá-lo.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( e x + x ) x = lim x → ∞ ⁡ ( e x + 1 ) ( e x + x ) 1 = lim x → ∞ ⁡ e x + 1 e x + x

*A derivada de ln ⁡ ( e x + x ) foi calculada usando a regra da cadeia:

ln ⁡ e x + x ' = 1 e x + x ⋅ e x + x '

Então, o limite que precisamos calcular agora é

lim x → ∞ ⁡ e x + 1 e x + x

Note que este limite também é uma indeterminação o tipo ∞ / ∞ . Aplicando a regra de L’Hospital de novo:

lim x → ∞ ⁡ e x + 1 e x + x = lim x → ∞ ⁡ e x e x + 1

Passo 4

Essa é hora que você começa a ficar irritado: o limite segue indeterminado do tipo ∞ / ∞ : sim, você vai aplicar a regra de L’Hospital mais uma vez (prometo que será a última):

lim x → ∞ ⁡ e x e x + 1 = lim x → ∞ ⁡ e x e x = lim x → ∞ ⁡ 1 = 1

Assim,

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 / x = e 1 = e

Resposta

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 / x = e

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. um dos seguintes limites: ∫ - ∞ 1 e x d x
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim x →+ ∞ ⁡ t 100 e t
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim x → 0 + ⁡ t g h2 x s e n h 2 x
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim y → 0 ⁡ s e n 2 y y - s e n 5 y
Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir. lim x → π 2 ⁡ 1 1 - s e n x - 1 ( cos 2 x ⁡ )