Enunciado

(b)Mostre que underset(x -> (pi)/(2))(l i m) ((1)/((pi)/(2) - x) - tg x) = 0

Passo 1

Aplicando-se pi // 2 direto em x , chegaríamos à indeterminação oo - oo , que em tese não tem como ser resolvida. Mas, manipulando um pouco essa função, conseguimos sair dela!

Segue uma maneira de resolver: pra isso, primeiro, substituímos tg x pela definição básica (sen x)/(cos x)

Vamos ter:

underset(x -> (pi)/(2))(l i m) ((1)/((pi)/(2) - x) - (sen x)/(cos x))

Agora, vamos juntar tudo em um único quociente, a partir do MMC. Faça o cálculo com calma, e você vai chegar ao seguinte resultado:

Passo 2

underset(x -> (pi)/(2))(l i m) ((1)/((pi)/(2) - x) - (sen x)/(cos x)) = underset(x -> (pi)/(2))(l i m) ((2 cos x - pi sen x + 2 x * sen x)/(pi cos x - 2 x * cos x))

Agora, se aplicássemos pi // 2 em x , chegaríamos à indeterminação do tipo (0)/(0) , que é passível da aplicação da regra de L’Hôpital!

Derivando numerador e denominador, usando a regra da cadeia quando necessário, vamos chegar a:

underset(x -> (pi)/(2))(l i m) ((2 cos x - pi sen x + 2 x * sen x)/(pi cos x - 2 x * cos x)) = underset(x -> (pi)/(2))(l i m) ((- 2 sen x - pi cos x + ( 2 sen x + 2 x * cos x ))/(- pi sen x - ( 2 cos x - 2 x * sen x )))

Passo 3

Simplificando o que é possível, temos:

underset(x -> (pi)/(2))(l i m) ((- pi cos x + 2 x * cos x)/(- pi sen x - 2 cos x + 2 x * sen x))

Aqui, ainda continuamos na indeterminação (0)/(0) ao tentar aplicar pi // 2 em x . Assim, vamos a mais uma rodada de L’Hôpital. Derivamos novamente em cima e embaixo e vamos ter:

underset(x -> (pi)/(2))(l i m) ((pi sen x + ( 2 cos x - 2 x * sen x ))/(- pi cos x + 2 sen x + ( 2 sen x + 2 x * cos x )))

Simplificando o que for possível, temos:

underset(x -> (pi)/(2))(l i m) ((pi sen x + 2 cos x - 2 x * sen x)/(- pi cos x + 4 sen x + 2 x * cos x )))

Agora, ao calcularmos o limite, aplicando pi // 2 em x , temos o seguinte:

underset(x -> (pi)/(2))(l i m) ((pi sen x + 2 cos x - 2 x * sen x)/(- pi cos x + 4 sen x + 2 x * cos x ))) = (pi + 0 - pi)/(0 + 4 + 0) = (0)/(4) = 0

Assim, fica provado o resultado do limite dado no exercício!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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