Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ x x + 1 x

Passo 1

Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:

L = lim x → ∞ ⁡ x x + 1 x

Para resolvermos isso, temos que fazer o seguinte:

x x + 1 x = e ln ⁡ x x + 1 x

Logo,

x x + 1 x = e x ln ⁡ x x + 1

Isso quer dizer que queremos calcular o seguinte limite:

L = lim x → ∞ ⁡ e x ln ⁡ x x + 1

Para isso, basta calcular o limite do exponencial, olha só:

L = e lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x x + 1

Passo 2

Vamos calcular esse limite separadamente:

L 1 = lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x x + 1

Se fizermos x = ∞ :

L 1 = ∞ × 0

Como caímos numa indeterminação, vamos arrumar o limite para aplicar a regra de L’Hospital.

L 1 = lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x x + 1

Passando o x para baixo:

L 1 = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x + 1 1 x

Agora que estamos caindo numa indeterminação 0 0 , podemos aplicar a regra de L’Hospital.

L 1 = lim x → ∞ ⁡ 1 x x + 1 × x x + 1 '   - 1 x 2

Isto é,

L 1 = lim x → ∞ ⁡ x + 1 x × x x + 1 '   - 1 x 2

Pra acharmos x x + 1 ' vamos usar a regra do quociente:

x x + 1 ' = x + 1 - x x + 1 2

Logo,

L 1 = lim x → ∞ ⁡ x + 1 x × 1 x + 1 2   - 1 x 2

Simplificando:

L 1 = lim x → ∞ ⁡ - x x + 1

Passo 3

Quando x → ∞ , podemos desprezar o termo 1 do denominador. Logo,

L 1 = lim x → ∞ ⁡ - x x

Então teremos o seguinte:

L 1 = lim x → ∞ ⁡ - 1

Logo,

L 1 = - 1

Voltando para o Limite de L

L = e lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x x + 1

Portanto,

L = e - 1

Resposta

L = e - 1

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