Enunciado

Encontre os limites

31. underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + 3) - x

Passo 1

Pra alguns casos de limites no infinito, se imediatamente aplicamos +- oo em x , a gente chega à reposta que o limite é igualmente infinito, logo, não existe.

Porém, fazendo algumas pequenas alterações na função a gente consegue ver que, na realidade, o limite existe, sim. E os casos em que a gente tem radicais isso acontece com frequência.

Se conseguimos simplificar os radicais, simplificando a nossa função como um todo, podemos chegar a um resultado numérico pro limite, em boa parte dos casos.

O melhor modo pra fazer isso é a racionalização. Vamos ver melhor abaixo

Passo 2

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + 3) - x = underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + 3) - x * (sqrt(x^2 + 3) + x)/(sqrt(x^2 + 3) + x)

Aqui a gente multiplica (em cima e em baixo pra manter a igualdade) pelo conjugado, pra chegarmos no produto notável do tipo ( a^2 - b^2 ) . Assim, nos livramos do radical no numerador, e podemos fazer uma simplificação interessante:

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + 3) - x * (sqrt(x^2 + 3) + x)/(sqrt(x^2 + 3) + x) = underset(x -> + oo)(l i m) (x^2 + 3 - x^2)/(sqrt(x^2 + 3) + x) =

= underset(x -> + oo)(l i m) (3)/(sqrt(x^2 + 3) + x)

Passo 3

Agora, não tem muito mais o que fazer, senão aplicar + oo em x e calcular o limite. Teremos:

= underset(x -> + oo)(l i m) (3)/(sqrt(x^2 + 3) + x) = (3)/(sqrt(oo^2 + 3) + oo) =

= (3)/(oo) = 0

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 + 3) - x = 0

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