Encontre os limites

32. lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 x - x

Passo 1

Pra alguns casos de limites no infinito, se imediatamente aplicamos ± ∞ em x , a gente chega à reposta que o limite é igualmente infinito, logo, não existe.

Porém, fazendo algumas pequenas alterações na função a gente consegue ver que, na realidade, o limite existe, sim. E os casos em que a gente tem radicais isso acontece com frequência.

Se conseguimos simplificar os radicais, simplificando a nossa função como um todo, podemos chegar a um resultado numérico pro limite, em boa parte dos casos.

O melhor modo pra fazer isso é a racionalização. Vamos ver melhor abaixo

Passo 2

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 x - x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 x - x ∙ x 2 - 3 x + x x 2 - 3 x + x

Aqui a gente multiplica (em cima e em baixo pra manter a igualdade) pelo conjugado, pra chegarmos no produto notável do tipo ( a 2 - b 2 ) . Assim, nos livramos do radical no numerador, e podemos fazer uma simplificação interessante:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 x - x ∙ x 2 - 3 x + x x 2 - 3 x + x = l i m x → + ∞ x 2 - 3 x - x 2 x 2 - 3 x + x =

= l i m x → + ∞ - 3 x x 2 - 3 x + x

Passo 3

Aqui, podemos simplificar ainda mais a função dividindo todos os termos por x 2 , que equivale a x (já que nosso limite tende a + ∞ , caso tendesse a - ∞ deveríamos adicionar um sinal de – pra ajustar o sinal).

Fazemos isso pra que possamos dividir dentro do radical também. Vamos ter:

l i m x → + ∞ - 3 x x 2 - 3 x + x = l i m x → + ∞ - 3 x x 2 - 3 x + x ∙ 1 x 1 x 2 =

= l i m x → + ∞ - 3 x - 3 + 1

Agora, o macete é dividir o conteúdo do radical no denominador pelo termo de maior grau de x . Sendo o maior grau 1, vamos ter:

l i m x → + ∞ - 3 1 - 3 x + 1 = - 3 1 - 0 + 1 = - 3 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 x - x = - 3 2

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