Encontre os limites.

7. lim x → 1 + ⁡ x 4 - 1 x - 1

Passo 1

Pra realizarmos o cálculo de um limite, basta que apliquemos no lugar de x o valor ao qual ele tende. Mas, apesar de parecer fácil a execução, algumas vezes a gente não pode fazer isso diretamente.

Em alguns casos, se substituímos direto x pelo valor ao qual ele tende, podemos chegar às inconsistências/indeterminações matemáticas do tipo 0 0 , ∞ ∞ , ∞ 0 e 0 ∞ .

Esses casos requerem uma alteração na forma como a função do limite está escrita, por meio de simplificações algébricas que equivalerão à função da forma inicial.

Não existindo esse tipo de problema, apenas aplicamos o valor em x e calculamos o limite normalmente!

Passo 2

Pra esse limite, se aplicamos 1 direto em x , chegamos à indeterminação 0 0 . Logo, precisamos trabalhar na função pra torná-la possível de ter o limite calculado.

Pra esse caso, podemos fatorar o numerador, por produtos notáveis, até chegarmos a uma parcela igual à do denominador, e cancelá-la!

Passo 3

Sendo assim, vamos obter que:

lim x → 1 + ⁡ x 4 - 1 x - 1

lim x → 1 + ⁡ ( x 2 - 1 ) ( x 2 + 1 ) x - 1 = lim x → 1 + ⁡ x - 1 x + 1 x 2 + 1 x - 1

Logo:

lim x → 1 + ⁡ x + 1 x 2 + 1

= 1 + 1 1 + 1 = 4

Resposta

lim x → 1 + ⁡ x 4 - 1 x - 1 = 4

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