Enunciado

Encontre os limites.

7. underset(x -> 1^+)(lim) (x^4 - 1)/(x - 1)

Passo 1

Pra realizarmos o cálculo de um limite, basta que apliquemos no lugar de x o valor ao qual ele tende. Mas, apesar de parecer fácil a execução, algumas vezes a gente não pode fazer isso diretamente.

Em alguns casos, se substituímos direto x pelo valor ao qual ele tende, podemos chegar às inconsistências/indeterminações matemáticas do tipo (0)/(0) , (oo)/(oo) , (oo)/(0) e (0)/(oo) .

Esses casos requerem uma alteração na forma como a função do limite está escrita, por meio de simplificações algébricas que equivalerão à função da forma inicial.

Não existindo esse tipo de problema, apenas aplicamos o valor em x e calculamos o limite normalmente!

Passo 2

Pra esse limite, se aplicamos 1 direto em x , chegamos à indeterminação (0)/(0) . Logo, precisamos trabalhar na função pra torná-la possível de ter o limite calculado.

Pra esse caso, podemos fatorar o numerador, por produtos notáveis, até chegarmos a uma parcela igual à do denominador, e cancelá-la!

Passo 3

Sendo assim, vamos obter que:

underset(x -> 1^+)(lim) (x^4 - 1)/(x - 1)

underset(x -> 1^+)(lim) (( x^2 - 1 ) ( x^2 + 1 ))/(x - 1) = underset(x -> 1^+)(lim) ((x - 1) (x + 1) (x^2 + 1))/(x - 1)

Logo:

underset(x -> 1^+)(lim) (x + 1) (x^2 + 1)

= (1 + 1) (1 + 1) = 4

Resposta

underset(x -> 1^+)(lim) (x^4 - 1)/(x - 1) = 4

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Determine se a ação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.36. Se f ( x ) for uma função racional e x = a estiver no domínio de f , então lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a ) .
Determine se a ação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.33. Se existirem lim x → a ⁡ f ( x ) e lim x → a ⁡ g ( x ) então também existe lim x → a ⁡ [ f ( x ) + g ( x ) ] .
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