Encontre os limites.

14. lim t → 1 ⁡ t 3 + t 2 - 5 t + 3 t 3 - 3 t + 2

Passo 1

Pra realizarmos o cálculo de um limite, basta que apliquemos no lugar de x o valor ao qual ele tende. Mas, apesar de parecer fácil a execução, algumas vezes a gente não pode fazer isso diretamente.

Em alguns casos, se substituímos direto x pelo valor ao qual ele tende, podemos chegar às inconsistências/indeterminações matemáticas do tipo 0 0 , ∞ ∞ , ∞ 0 e 0 ∞ .

Esses casos requerem uma alteração na forma como a função do limite está escrita, por meio de simplificações algébricas que equivalerão à função da forma inicial.

Não existindo esse tipo de problema, apenas aplicamos o valor em x e calculamos o limite normalmente!

Passo 2

Pra esse limite, se aplicamos 2 direto em t, chegamos à indeterminação 0 0 . Logo, precisamos trabalhar na função pra torná-la possível de ter o limite calculado.

Pra esse caso, podemos fatorar o numerador, por produtos notáveis, até chegarmos a uma parcela igual à do denominador, e cancelá-la!

Passo 3

lim t → 1 ⁡ t 3 + t 2 - 5 t + 3 t 3 - 3 t + 2 =

Aqui, a opção é fazer a decomposição dos polinômios de 3º grau, por Briot-Ruffini, em termos mais simples!

lim t → 1 ⁡ ( t - 1 ) ( t 2 + 2 t - 3 ) ( t - 1 ) ( t 2 + t - 2 ) = lim t → 1 ⁡ ( t 2 + 2 t - 3 ) ( t 2 + t - 2 )

E, ainda assim, temos a indeterminação 0 0 com essa simplificação. Dessa forma, só precisamos aplicar novamente a técnica de fatoração! Teremos:

lim t → 1 ⁡ ( t 2 + 2 t - 3 ) ( t 2 + t - 2 ) = lim t → 1 ⁡ ( t - 1 ) ( t + 3 ) ( t - 1 ) ( t + 2 ) =

lim t → 1 ⁡ ( t + 3 ) ( t + 2 ) =

= 1 + 3 1 + 2 = 4 3

Resposta

lim t → 1 ⁡ t 3 + t 2 - 5 t + 3 t 3 - 3 t + 2 = 4 3

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