Enunciado

Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.

19. 3 y ' ' - 6 y ' + 30 y = e x tan ⁡ 3 x

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos uma equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros precisamos, assim como já estamos acostumados, encontrar duas soluções: a solução complementar e a solução particular. A solução complementar é encontrada da maneira que já conhecemos mesmo, encontrando as raízes da equação característica. Já para encontrarmos a solução particular devemos fazer o seguinte:

Uma vez que encontramos a solução complementar teremos que a função que acompanha c 1 é y 1 , a função que acompanha c 2 é y 2 e a função de x que fica na direita da nossa equação diferencial é f x . Identificado isso, precisamos resolver os determinantes Wronskianos abaixo:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

W 1 = 0 y 2 f x y 2 '

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x

Feito isso, depois precisamos integrar as seguintes funções:

u 1 ' = W 1 W   e   u 2 ' = W 2 W

Pois a nossa solução particular vai ter o seguinte formato:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Pareceu difícil, galera? Então bora descomplicar isso aí! Praticando alguns exercícios tenho certeza que a ideia vai ficar muuuito mais clara! Chega mais!

Passo 2

Assim como comentamos no passo anterior, a primeira coisa a se fazer é encontrar y c , certo? Show! Nossa equação é:

3 y ' ' - 6 y ' + 30 y = e x tan ⁡ 3 x

Escrevendo-a no formato padrão:

y ' ' - 2 y ' + 10 y = 1 3 e x tan ⁡ 3 x

Fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , teremos:

m 2 - 2 m + 10 = 0

E então encontramos que:

m 1 = 1 + 3 i

m 2 = 1 - 3 i

Como as raízes são complexas então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = e a x c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x

y c = c 1 e x cos ⁡ 3 x + c 2 e x s e n   3 x

Que nos diz o seguinte:

y 1 = e x cos ⁡ 3 x

y 2 = e x s e n   3 x

Topzeeera! Primeira etapa concluída!

Passo 3

Além das funções que identificamos no passo anterior, tendo em vista a equação diferencial que nos foi dada, tiramos que:

f x = 1 3 e x tan ⁡ 3 x

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = e x cos ⁡ 3 x e x s e n   3 x e x cos ⁡ 3 x - 3 e x s e n   3 x e x s e n   3 x + 3 e x cos ⁡ 3 x = 3 e 2 x

W 1 = 0 y 2 f x y 2 ' = 0 e x s e n   3 x 1 3 e x tan ⁡ 3 x e x s e n   3 x + 3 e x cos ⁡ 3 x = - 1 3 e 2 x . s e n 2 x cos ⁡ x

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x = e x cos ⁡ 3 x 0 e x cos ⁡ 3 x - 3 e x s e n   3 x 1 3 e x tan ⁡ 3 x = 1 3 e 2 x . s e n   3 x

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = - 1 3 e 2 x . s e n 2 x cos ⁡ x 3 e 2 x = 1 9 cos ⁡ 3 x - sec ⁡ 3 x

u 2 ' = W 2 W = 1 3 e 2 x . s e n   3 x 3 e 2 x = 1 9 s e n   3 x

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1   e   u 2 !

Passo 4

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = ∫ 1 9 cos ⁡ 3 x - sec ⁡ 3 x d x = 1 27 s e n   3 x - 1 27 ln ⁡ sec ⁡ 3 x + tan ⁡ 3 x

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ 1 9 s e n   3 x d x = - 1 27 cos ⁡ 3 x

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = 1 27 s e n   3 x - 1 27 ln ⁡ sec ⁡ 3 x + tan ⁡ 3 x . e x cos ⁡ 3 x - 1 27 cos ⁡ 3 x . e x s e n   3 x

Sendo assim, concluímos que nossa solução geral é a seguinte:

y = y c + y p

y = c 1 e x cos ⁡ 3 x + c 2 e x s e n   3 x + 1 27 s e n   3 x - 1 27 ln ⁡ sec ⁡ 3 x + tan ⁡ 3 x . e x cos ⁡ 3 x

- 1 27 cos ⁡ 3 x . e x s e n   3 x

E é isso, gente!

Resposta

y = c 1 e x cos ⁡ 3 x + c 2 e x s e n   3 x + 1 27 s e n   3 x - 1 27 ln ⁡ sec ⁡ 3 x + tan ⁡ 3 x . e x cos ⁡ 3 x

- 1 27 cos ⁡ 3 x . e x s e n   3 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 13 a 20, verifique se as funções dadas y 1 e y 2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problem
Use o resultado do Problema 22 para encontrar a solução do problema de valor inicial L y = D 2–2 λ D+ λ 2 + μ 2 y = g t ,y t 0 = 0 ,y ( t 0 )=0 . Note que as raízes da equação característica são λ±i μ
Em cada um dos problemas de 13 a 20, verifique se as funções dadas y 1 e y 2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problem
Mostre que a solução do problema de valor inicial L y = y ' ' + p t y ' + q t y = g t ,y t 0 = y 0 ,y ' t 0 = y 0 ' pode ser escrita como y = u ( t ) + v ( t ) , em que u e v são soluções dos dois pro
Escolhendo o limite inferior de integração na Eq. (28) no texto como o ponto inicial t 0 , mostre que Y ( t ) torna-se Y t = ∫ t 0 t y 1 s y 2 t - y 1 t y 2 s y 1 s y 2 ' s - y 1 ' s y 2 s g s d s Mos