Enunciado

Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.

23. y ' ' ' - 2 y ' ' - y ' + 2 y = e 3 x

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos uma equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros precisamos, assim como já estamos acostumados, encontrar duas soluções: a solução complementar e a solução particular. A solução complementar é encontrada da maneira que já conhecemos mesmo, encontrando as raízes da equação característica. Já para encontrarmos a solução particular devemos fazer o seguinte:

Uma vez que encontramos a solução complementar teremos que a função que acompanha c 1 é y 1 , a função que acompanha c 2 é y 2 e a função de x que fica na direita da nossa equação diferencial é f x . Identificado isso, precisamos resolver os determinantes Wronskianos abaixo:

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 ' ' y 2 ' ' y 3 ' '

W 1 = 0 y 2 y 3 0 y 2 ' y 3 ' f x y 2 ' ' y 3 ' '

W 2 = y 1 0 y 3 y 1 ' 0 y 3 ' y 1 ' ' f x y 3 ' '

W 3 = y 1 y 2 0 y 1 ' y 2 ' 0 y 1 ' ' y 2 ' ' f x

Feito isso, depois precisamos integrar as seguintes funções:

u 1 ' = W 1 W ,   u 2 ' = W 2 W   e   u 3 ' = W 3 W

Pois a nossa solução particular vai ter o seguinte formato:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 + u 3 y 3

Pareceu difícil, galera? Então bora descomplicar isso aí! Praticando alguns exercícios tenho certeza que a ideia vai ficar muuuito mais clara! Chega mais!

Passo 2

Assim como comentamos no passo anterior, a primeira coisa a se fazer é encontrar y c , certo? Show! Nossa equação é:

y ' ' ' - 2 y ' ' - y ' + 2 y = e 3 x

Fazendo as substituições y ' ' ' = m 3 ,   y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , teremos:

m 3 - 2 m 2 - m + 2 = 0

E então encontramos que:

m 1 = 1

m 2 = 2

m 3 = - 1

Como as raízes são reais e distintas então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x + c 3 e m 3 x

y c = c 1 e x + c 2 e 2 x + c 3 e - x

Que nos diz o seguinte:

y 1 = e x

y 2 = e 2 x

y 3 = e - x

Topzeeera! Primeira etapa concluída!

Passo 3

Além das funções que identificamos no passo anterior, tendo em vista a equação diferencial que nos foi dada, tiramos que:

f x = e 3 x

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 ' ' y 2 ' ' y 3 ' ' = e x e - x e 2 x e x - e - x 2 e 2 x e x e - x 4 e 2 x = 6 e 2 x

W 1 = 0 y 2 y 3 0 y 2 ' y 3 ' f x y 2 ' ' y 3 ' ' = 0 e - x e 2 x 0 - e - x 2 e 2 x e 3 x e - x 4 e 2 x = - 3 e 4 x

W 2 = y 1 0 y 3 y 1 ' 0 y 3 ' y 1 ' ' f x y 3 ' ' = e x 0 e 2 x e x 0 2 e 2 x e x e 3 x 4 e 2 x = 2 e 3 x

W 3 = y 1 y 2 0 y 1 ' y 2 ' 0 y 1 ' ' y 2 ' ' f x = e x e - x 0 e x - e - x 0 e x e - x e 3 x = e 6 x

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = - 1 2 e 2 x

u 2 ' = W 2 W = 1 3 e x

u 3 ' = W 3 W = 1 6 e 4 x

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1 ,   u 2   e   u 3 !

Passo 4

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = ∫ - 1 2 e 2 x d x = - 1 4 e 2 x

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ 2 e 3 x d x = 1 3 e x

E, por fim, integrando u 3 ' , teremos:

u 3 = ∫ 1 6 e 4 x d x = 1 24 e 4 x

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 + u 3 y 3

y p = - 1 4 e 3 x + 1 3 e 3 x + 1 24 e 3 x = 1 12 e 3 x + 1 24 e 3 x = 1 8 e 3 x

Sendo assim, concluímos que nossa solução geral é a seguinte:

y = y c + y p

y = c 1 e x + c 2 e 2 x + c 3 e - x + 1 8 e 3 x

E é isso, gente!

Resposta

y = c 1 e x + c 2 e 2 x + c 3 e - x + 1 8 e 3 x

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