Enunciado

Encontre a menor distância do ponto ( x 0 , y 0 ) à reta de equação a x + b y + c = 0 é dada por | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 .

Passo 1

Bom galerinha, note que aqui precisamos usar multiplicadores de Lagrange.

Primeiro, vamos lembrar que a distância de um ponto ( x 0 , y 0 ) a uma reta a x + b y + c = 0 é dada por

d = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 .

Passo 2

O que queremos é minimizar a distância de um ponto ( x , y ) a reta y - x + 10 = 0 que é dada por:

D x , y = | - x + y + 10 | 2 = - x + y + 10 2 2

De modo que tal ponto esteja na elipse, ou seja, devemos impor a restrição:

g x , y = x 2 + 4 y 2 - 1

Passo 3

Pronto, agora vamos resolver o sistema:

∇ D x , y = λ ∇ g ( x , y ) g x , y = 0

Isso implica que:

- 2 2 ⋅ - x + y + 10 - x + y + 10 2 = 2 λ x     I 2 2 ⋅ - x + y + 10 - x + y + 10 2 = 8 λ y       I I x 2 + 4 y 2 = 1         ( I I I )

Passo 4

Fazendo I + ( I I ) , obtemos:

λ x + 4 λ y = 0

⇒ λ x + 4 y = 0

x = - 4 y

Substituindo esse resultado em ( I I I ) :

x 2 + 4 y 2 = 1

⇒ - 4 y 2 + 4 y 2 = 1

⇒ y = ± 5 10

Assim, obtemos os pontos:

P = 4 5 10 , - 5 10 Q = - 4 5 10 ,   5 10

Passo 5

Agora, basta substituirmos esses pontos na função distância e analisar qual deles oferece a menor distância. Assim temos que:

D 4 5 10 , - 5 10 = - 4 5 10 + - 5 10 + 10 2 2 = 5 2 - 10 4

E

D - 4 5 10 ,   5 10 = - - 4 5 10 + 5 10 + 10 2 2 = 5 2 + 10 4

Contudo, a distancia mínima é:

5 2 - 10 4

Resposta

5 2 - 10 4

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