Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.

∑ k = 1 ∞ s e n   100 k

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo certo?

Vamos começar nossa questãozinha entendendo o que precisaremos fazer.

Primeiro, determinar se nossa série é convergente ou divergente. Lembrando que convergência significa que a soma da série se estabiliza em um número, enquanto divergência significa que a soma não se estabiliza e cresce para infinito ou não converge para um valor específico.

Caso nossa série seja convergente, vamos precisar encontrar sua soma, ou seja, o resultado de somar todos os termos da nossa série infinita.

∑ k = 1 ∞ s e n   100 k = s e n   100 + s e n   100 2 + … + s e n   100 n - 1 + s e n   100 n

Aqui veremos que estamos tratando de uma série geométrica, que é um tipo de série onde a determinação da convergência e da soma ficam bem mais simples.

Bora lá então!

Passo 2

Uma série geométrica tem formato ∑ k = 1 ∞ a r n - 1

Aqui temos uma série geométrica com primeiro termo a 1 = s e n   100 e razão r = s e n   100 .

Uma vantagem de termos uma série geométrica é que podemos analisar sua convergência ou divergência simplesmente analisando o valor de r , nos poupando do cálculo do limite.

Se r < 1 a série é convergente.

Se r ≥ 1 a série é divergente.

Como o valor de r = s e n   100 < 1 , nós temos uma série convergente!

Passo 3

Já descobrimos que a série converge. Agora, vamos calcular a soma dessa série! Assumindo o primeiro elemento como s e n   100 .

A soma infinita de termos de uma série geométrica é dada por:

S = a 1 1 - r

Substituindo os valores, temos:

S = s e n   100 1 - s e n   100 = - 0,336

Assim, podemos dizer que a série converge para - 0,336 .

Resposta

A série é convergente e converge para - 0,336 .

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