Enunciado

Encontre o nível de produção no qual a função custo marginal começa a crescer.

C x = 0,001 x 3 - 0,3 x 2 + 6 x + 900

Passo 1

A função custo marginal é a derivada do custo total C ( x ) . Derivando a função, temos então:

C ' x = 0,003 x 2 - 0,6 x + 6

Para analizar o crescimento ou decrescimento do custo marginal C ' ( x ) , devemos olhar para a derivada dele (que é a segunda derivada de C ( x ) .

Passo 2

Derivando o custo marginal, temos:

C ' x = 0,003 x 2 - 0,6 x + 6

⇒ C ' ' x = 0,006 x - 0,6

Esse valor é negativo para x = 0 , então a função C ' ( x ) começa decrescente. Ela passa a crescer quando C ' ' ( x ) se torna positiva. Isso acontece depois que C ' ' x = 0 :

0,006 x - 0,6 = 0

⇒ 0,006 x = 0,6

⇒ x = 0,6 0,006 = 100

Então temos C ' ' x > 0 para x > 100 , e esse é o valor de x a partir do qual o custo marginal C ' ( x ) cresce.

Resposta

A partir de 100 unidades produzidas.

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