Enunciado

Encontre os números críticos da função

g (y) = (y - 1)/(y^2 - y + 1)

Passo 1

Temos que um número crítico de uma função é o y quando

g^' (y) = 0

Então, para encontra-lo, basta derivarmos a função g e igualar g ' a zero. Então

g^' (y) = (1 ( y^2 - y + 1 ) - (y - 1) * (2 y - 1))/((y^2 - y + 1)^2) = (y^2 - y + 1 - (2 y^2 - y - 2 y + 1))/((y^2 - y + 1)^2) = (y^2 - y + 1 - 2 y^2 + 3 y - 1)/((y^2 - y + 1)^2) = (- y^2 + 2 y)/((y^2 - y + 1)^2) = (y (2 - y))/((y^2 - y + 1)^2)

Passo 2

Agora, igualando a zero, ficamos com

(y (2 - y))/((y^2 - y + 1)^2) = 0

No numerador

y (2 - y) = 0

y = 0 e y = 2

No denominador, a função não existe quando o denominador for zero, então, o denominador igual a zero também é um número crítico

(y^2 - y + 1)^2 = 0

y^2 - y + 1 = 0

Se utilizarmos a Fórmula de Baskara, vemos que

Delta < 0

Então, essa equação não apresenta nenhuma raíz real, logo, os únicos números críticos são 0 e 2

Resposta

0 e 2 são os únicos números críticos da função

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