Enunciado

  1. Encontre uma parametrização para o hiperboloide x 2 + y 2 - z 2 = 1 .

Passo 1

Há várias maneiras de se parametrizar uma curva. Há algumas especialmente boas quando tratamos de certas curvas. Para encontrarmos uma parametrização para o hiperboloide dado, vamos lembrar de algumas propriedades:

  • cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 para todo θ (relação fundamental da trigonometria).
  • cosh 2 ⁡ α - sinh 2 ⁡ α = 1 para todo α .

Note que cosh ⁡ α representa o “cosseno hiperbólico”; sinh ⁡ α representa o “seno hiperbólico”:

cosh ⁡ α = e α + e - α 2 sinh ⁡ α = e α - e - α 2

Passo 2

Assim, vamos considerar o seguinte:

x = A cos ⁡ θ y = A sin ⁡ θ

onde A é alguma coisa que vamos determinar daqui a pouquinho!

x 2 + y 2 = A cos ⁡ θ 2 + A sin ⁡ θ 2 x 2 + y 2 = A 2 cos 2 ⁡ θ + A 2 sin 2 ⁡ θ x 2 + y 2 = A 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ x 2 + y 2 = A 2

Passo 3

Assim, na equação, ficaríamos com

x 2 + y 2 - z 2 = 1 A 2 - z 2 = 1

Assim, uma boa ideia é utilizar as funções hiperbólicas; assim, veja que devemos tomar

A = cosh ⁡ α z = sinh ⁡ α

Passo 4

Portanto, vemos que uma parametrização é:

φ θ ,   α = cos ⁡ θ cosh ⁡ α , sin ⁡ θ cosh ⁡ α , sinh ⁡ α

Resposta

Uma possível parametrização é φ θ , α = cos ⁡ θ cosh ⁡ α , sin ⁡ θ cosh ⁡ α , sin ⁡ α .

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