Enunciado

  1. Encontre uma parametrização para o hiperboloide x^2 + y^2 - z^2 = 1 .

Passo 1

Há várias maneiras de se parametrizar uma curva. Há algumas especialmente boas quando tratamos de certas curvas. Para encontrarmos uma parametrização para o hiperboloide dado, vamos lembrar de algumas propriedades:

  • cos^2 theta + sin^2 theta = 1 para todo theta (relação fundamental da trigonometria).
  • cosh^2 alpha - sinh^2 alpha = 1 para todo alpha .

Note que cosh alpha representa o “cosseno hiperbólico”; sinh alpha representa o “seno hiperbólico”:

cosh alpha = (e^(alpha) + e^(- alpha))/(2) sinh alpha = (e^(alpha) - e^(- alpha))/(2)

Passo 2

Assim, vamos considerar o seguinte:

x = A cos theta y = A sin theta

onde A é alguma coisa que vamos determinar daqui a pouquinho!

x^2 + y^2 = (A cos theta)^2 + (A sin theta)^2 x^2 + y^2 = A^2 cos^2 theta + A^2 sin^2 theta x^2 + y^2 = A^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) x^2 + y^2 = A^2

Passo 3

Assim, na equação, ficaríamos com

x^2 + y^2 - z^2 = 1 A^2 - z^2 = 1

Assim, uma boa ideia é utilizar as funções hiperbólicas; assim, veja que devemos tomar

A = cosh alpha z = sinh alpha

Passo 4

Portanto, vemos que uma parametrização é:

phi (theta , alpha) = (cos theta cosh alpha , sin theta cosh alpha , sinh alpha)

Resposta

Uma possível parametrização é phi (theta , alpha) = (cos theta cosh alpha , sin theta cosh alpha , sin alpha) .

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