Enunciado

Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P 2 = 5 ,   P ' 2 = 3   e   P ' ' 2 = 2 .

Passo 1

Para encontrar um polinômio de segundo grau P x que satisfaça as condições dadas, podemos seguir esta estratégia de resolução:

Para expressar o polinômio de segundo grau na forma geral, inicialmente, supomos que P ( x ) tem a forma P x = a x 2 + b x + c onde a ,   b   e   c são coeficientes a serem determinados.

2. **Impor as condições dadas:** Substituímos x = 2   e m   P x ,     P ' ( x )   e     P ' ' ( x ) , e igualamos os resultados às condições dadas:

- P ( 2 )   =   5 : Isso nos dará uma equação para a ,   b   e   c .

-   P ' ( 2 )   =   3 : Isso nos dará uma equação adicional.

-   P ' ' ( 2 )   = 2 : Isso nos dará uma terceira equação.

Para resolver o sistema de equações resultante teremos um sistema de três equações lineares em a ,   b   e   c .

Podemos resolver esse sistema para determinar os valores dos coeficientes a ,   b   e   c

Para escrever o polinômio final depois de encontrar os valores de a ,   b   e   c , substituímos esses valores na expressão do polinômio de segundo grau P x = a x 2 + b x + c .

Vamos seguir esses passos para encontrar o polinômio de segundo grau P ( x ) que satisfaz as condições dadas.

Passo 2

O primeiro dado pode ser usado. É só substituir x por 2. Assim:

P 2 =   a . ( 2 2   ) + b . 2 + c   =   5

Desta forma, temos a primeira equação com três variáveis a , b e c que são os coeficientes (constantes) do polinômio P ( x ) que queremos descobrir.

I   :   4 a + 2 b + c = 5

Antes de usarmos o segundo dado, devemos derivar P ( x ) , assim:

P ' x =   2 a x + b

e daí temos:

P 2 =   2 a ( 2 ) + b = 3

Passo 3

E assim temos a segunda equação

I I :     4 a + b = 3

Para obtermos a segunda derivada de P ( x ) derivamos a primeira P ' ( x ) :

P ' ' x =   2 a , logo temos que

P " ( 2 ) =   2 a = 2

a =   2 2 = 1

Passo 4

Sabendo que a = 1 , então, podemos achar b substituindo o valor de a na equação ( I I ) .

Logo, tem-se que:

b = 3 - 4 a  

    b = 3 - 4 1

b =   - 1

E, daí, pela equação ( I ) tem-se que:

c = 5 - 4 a - 2 b

c = 5 - 4 1 - 2 - 1

c = 5 - 4 + 2

c = 3

Portanto, P x = x 2 - x + 3

Resposta

P x = x 2 - x + 3

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