Enunciado

Encontre a n-ésima derivada de cada função calculando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.

(a) f x = x n

(b) f x = 1 x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos obter a n-ésima derivada de f x = x n e f x = 1 x

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Nesses casos, para calcular suas derivadas, podemos aplicar a regra da potência

f x = x a → f ' x = a x a - 1

Mas e a n-ésima derivada? Como podemos calcular? 👀

Vamos calcular varias derivadas de cada um dos casos para poder encontrar uma relação de recorrência e encontrar uma expressão para calcular qualquer derivada dos casos.

Veja só! 😉

Passo 2

Queremos obter a n-ésima derivada de f x = x n

A primeira derivada f 1   x é dada pela regra da derivada da potência, assim:

f 1   x = n x n - 1

A segunda derivada é a derivada da primeira, assim:

f 2   x = n . n - 1 x n - 1 - 1

f 2   x = n n - 1 x n - 2

A terceira derivada é a derivada da segunda, assim:

f 3   x = n . n - 1 n - 2 x n - 3

E assim por diante...

A n-ésima derivada será então:

f n x = n n - 1 n - 2 n - 3 n - 4 … n - n - 1   x n - ( n )

f n x = n n - 1 n - 2 … 1   x 0

Se x 0 = 1 e n n - 1 n - 2 … = n ! , temos

f n x =   n !

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Queremos achar, também, a n-ésima derivada da função

f x =   1 x =   x - 1

Iremos fazer o mesmo procedimento do item " a " :

Primeira derivada:

f 1 x = - 1 x - 1 - 1 =   - x - 2

Segunda derivada:

f 2 x = - 1 - 2 x - 3

Terceira derivada:

f 3 x = - 1 - 2 ( - 3 ) x - 4

n-ésima derivada:

f ( n ) x = - 1 - 2 - 3 … ( - n ) x - ( n + 1 )

f ( n ) x = - 1 n n ! x - ( n + 1 )

E aí! o que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

a) f n x =   n !

b) f ( n ) x = - 1 n n ! x - ( n + 1 )

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