Enunciado

46. Se a taxa de natalidade da população é b t = 2200 e 0,024 t pessoas por ano e a taxa de mortalidade é d t = 1460 e 0,018 t pessoas por ano, encontre a área entre estas curvas para 0 ≤ t ≤ 10 . O que esta área representa?

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😎

Nesse problema foi dada uma equação que representa a taxa de natalidade de uma região e outra que representa a taxa de mortalidade dadas respectivamente por b t = 2200 e 0,024 t e d t = 1460 e 0,018 t .

A partir daí queremos encontrar a area entre as curvas e dizer o que esse dado representa.

Tem ideia de como fazer isso?

A ideia de area nos remete a uma operação matemática muito interessante que é a integração...

A integral de uma curva definida entre dois pontos nos dá a area abaixo dessa curva entre esses pontos.

Veja só! 😉

Passo 2

Vamos calcular essa área através da integral das funções:

A área entre as curvas pode ser obtida pela relação:

A = A v e r m e l h o - A v e r d e

Por sua vez, as áreas vermelha e verde podem ser calculadas como as integrais

A = ∫ 0 10 2200 e 0.024 t d t - ∫ 0 10 1460 e 0.018 t d t

Percebeu o que fizemos? 😬

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente

∫ 0 10 2200 e 0.024 t d t   = 2200 e 0,024 t 0,024 0 10

∫ 0 10 2200 e 0.024 t d t = 2200 0,024 e 0.024 × 10 - e 0.024 × 0

∫ 0 10 2200 e 0.024 t d t = 2200 e 0.24 - 1

Agora calculando a outra integral...

∫ 0 10 1460 e 0.018 t d t = 1460 e 0,018 t 0,018 0 10

∫ 0 10 1460 e 0.018 t d t = 1460 0,018 e 0.018 × 10 - e 0.018 × 0

∫ 0 10 1460 e 0.018 t d t = 1460 e 0.18 - 1

Voltando para A , temos

A = ∫ 0 10 2200 e 0.024 t d t - ∫ 0 10 1460 e 0.018 t d t

A = 2200 e 0.24 - 1 - 1460 e 0.18 - 1

A ≅ 8868

Essa área representa o quanto aquela população cresceu em 10 anos.

E aí! O que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

A ≅ 8868

Essa área representa o quanto aquela população cresceu em 10 anos

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