Enunciado

Encontre os pontos na curva y = t g x   , - π / 2 < x < π / 2 , em que a normal seja paralela à reta y = - x / 2 . Esboce a curva e as normais juntas, identificando cada uma com sua respectiva equação.

Passo 1

A primeira derivada de uma função em determinado ponto nos dá o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto, portanto para resolver a questão precisaremos achar a primeira derivada da curva dada. Usaremos que o produto dos coeficientes angulares entre duas retas normais é igual a -1. Em seguida usaremos que os coeficientes angulares de duas retas paralelas é igual e que a na equação da reta y = a x + b expressa o valor do coeficiente angular.

Passo 2

y = t g x

y ' = s e c ² x

m 1 . m 2 = - 1

m 1 = - 1 s e c 2 x

m 1 = - c o s ² x

Agora usamos que os coeficientes angulares de duas retas paralelas são iguais e que a na equação da reta y = a x + b expressa o valor do coeficiente angular.

Portanto:

- c o s 2 x = - 1 2

c o s x = ± 1 2

c o s x = ± 2 2

x = k π ± π 4

Como - π / 2 < x < π / 2 , os valores de x são x = ± π 4

Passo 3

Para determinar os valores de y , substituímos os valores de x obtidos na equação original:

y = t g ( ± π 4 )

y = ± 1

Falta agora apenas esboçar o gráfico, usando a = - 1 2 e fazendo as retas cruzarem o gráfico nos pontos obtidos.

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre as equações para as retas que sejam tangente e normais à curva no ponto dado. x 3 2 + 2 y 3 2 = 17 1 , 4
Encontre as equações para as retas que sejam tangentes e normais à curva no ponto dado. x 2 + 2 y 2 = 9 , ( 1 ,2 )
Determine os pontos na curva y=2 x 3 - 3 x 2 - 12 x + 20 em que a tangente seja paralela ao eixo x .
Determine os pontos na curva y = 2 x 3 - 3 x 2 - 12 x + 20 em que a tangente seja a. perpendicular à reta y = 1 - x 24 .b. paralela à reta y = 2 - 1 2 x .
A parábola y = x 2 + C deve ser tangente à reta y = x . Encontre C .