Enunciado

54- Determinação de volume Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenados, pela curva y = e - x e pela reta x = 1 .

  1. Em torno do eixo das ordenadas.

Passo 1

Onde o eixo das ordenadas é o eixo y . E como está limitado no primeiro quadrante o seu domínio é positivo, e como queremos a rotação no eixo y podemos fazer o método dos discos só que ai precisaríamos de x o que nos dá uma integral um pouco chata de se fazer, então vamos optar pelo método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Rotacionando em torno de x = 0 .

V = ∫ 0 1 2 π x e - x d x

V = 2 π ∫ 0 1 x e - x d x

Passo 3

Fazendo a integração por partes de x e - x :

u = x → d u = 1 d x

d v = e - x → v = - e - x

Substituindo em :

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x e - x = - x e - x - ∫ - e - x d x

∫ x e - x = - x e - x - e - x

Aplicando o intervalo nessa integral temos:

V = 2 π - x e - x - e - x 0 1

V = 2 π - e - 1 + 0 - e - 1 + 1

V = 2 π - 2 e + 1

V = 2 π - 4 π e

Resposta

V = 2 π - 4 π e

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Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = x y = 1 x = 0
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = 4 - x 2 y = 2 - x
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = x 2 + 1 y = x + 3
33. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região do exercício 32.
32. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y , da região limitada pela reta que passa por (1,3) e (3, 7) e pelas retas y = 3 , y = 7 e x = 0.