Enunciado

Encontre, com precisão de duas casas decimais, as coordenadas do ponto na curva y = t a n ⁡ ( x ) que está mais próximo do ponto ( 1,1 )

Passo 1

Seja o gráfico de y dado por

A distância de um ponto arbritrário P ( x , y ) para o ponto ( 1,1 ) é dada por

d = x - 1 2 + y - 1 2

E o quadrado da distancia é

S = d 2 = x - 1 2 + y - 1 2

Substituindo y pelo que foi dado no enunciado, ficamos com

S = x - 1 2 + tan ⁡ x - 1 2

Passo 2

Para encontrarmos o menor valor de S , basta derivarmos e igualarmos a zero, daí ficamos com

S ' = 2 x - 1 + 2 tan ⁡ x - 1 ⋅ sec 2 ⁡ ( x )

Fazendo o gráfico de S '

Podemos ver que S ' = 0 quando x = 0,824

Calculando y

y = tan ⁡ x = tan ⁡ 0,824 ≈ 1,080

Então, temos que o ponto mais próximo do ponto ( 1,1 ) é o ponto ( 0,824   ,   1,080 )

Resposta

O ponto mais próximo do ponto ( 1,1 ) é o ponto ( 0,824   ,   1,080 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um cliente lhe pediu que projetasse um tanque retangular de aço inoxidável, sem tampa. Ele deverá possuir base quadrada e um volume de 32 pés e será soldado a partir de chapas de aço com espessura de
Produção de pneus Sua empresa pode fabricar por dia x centenas de pneus com qualidade A e y centenas de pneus com qualidade B, onde 0 ≤ x ≤ 4 e y = 40 - 10 x 5 - x Seu lucro sobre o pneu de qualidade
As posições de duas partículas no eixo s são s 1 = c o s t e s 2 = cos ⁡ t + π 4 . Qual é a maior distância entre as partículas ?
Encontrar o tamanho máximo que a escada pode ter.
As posições de duas partículas no eixo s são s 1 = c o s t e s 2 = cos ⁡ t + π 4 . Quando as partículas colidirão ?