Enunciado

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Produção de pneus Sua empresa pode fabricar por dia x centenas de pneus com qualidade A e y centenas de pneus com qualidade B, onde 0 ≤ x ≤ 4 e

y = 40 - 10 x 5 - x

Seu lucro sobre o pneu de qualidade A é duas vezes maior do que o lucro sobre o pneu de qualidade B. Qual é o número de cada tipo de pneu que torna a produção mais lucrativa?

Passo 1

Denominemos as seguintes incógnitas:

L a :     L u c r o   s o b r e   o   p n e u   d e   q u a l i d a d e   A

L b :     L u c r o   s o b r e   o   p n e u   d e   q u a l i d a d e   B

L t :     L u c r o   t o t a l

Podemos escrever a seguinte expressão:

L t = x .   L a + y .   L b

Do enunciado,

L a = 2 . L b

Logo,

L t = 2 x .   L b + y .   L b

L t = L b ( 2 x + y )

Passo 2

A fim de maximizar o lucro total, devemos derivar a expressão e igualar à zero.

L t = L b ( 2 x + y )

L t = L b 2 x + 40 - 10 x 5 - x

L t = L b 10 x - 2 x 2 + 40 - 10 x 5 - x

L t = L b - 2 x 2 + 40 5 - x

Vamos agora derivar e igualar a zero. Vale lembrar que a regra do quociente:

h x = f x g x → h ' x = f ' x . g x - f x . g ' x g x 2

Logo,

L ' t = L b - 4 x 5 - x - - 2 x 2 + 40 . - 1 5 - x 2 = 0

- 20 x + 4 x 2 - 2 x 2 + 40 = 0

2 x 2 - 20 x + 40 = 0

x 2 - 10 x + 20 = 0

x 1 = 10 + 100 - 80 2 = 10 + 20 2 = 5 + 5

x 2 = 10 - 100 - 80 2 = 10 - 20 2 = 5 - 5

Do enunciado, 0 ≤ x ≤ 4 . Portanto, x 1 não satisfaz as condições. Logo:

x = 5 - 5

Passo 3

Tendo o valor de x, vamos substituir este valor na expressão, a fim de encontrar o valor de y:

y = 40 - 10 x 5 - x

y = 40 - 10 ( 5 - 5 ) 5 - ( 5 - 5 ) = 40 - 50 + 10 5 5   = 10 - 1 + 5 5 = 10 - 1 + 5 * 5 5   = 2 5 - 5

Resposta

x = ( 5 - 5 ) . 100 ≅ 276   p n e u s

y = 2 5 - 5 . 100 = 553   p n e u s

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