Enunciado

As posições de duas partículas no eixo s são s 1 = c o s t   e s 2 = cos ⁡ t + π 4 .

  1. Qual é a maior distância entre as partículas ?

Passo 1

A distância entre as duas partículas é dada por:

D = s 2 - s 1 =   cos ⁡ t + π 4 - c o s t = c o s t 2 2 2 - 1   - 2 2 2 s e n t  

Se D < 0 quer dizer que s 2 < s 1 , ou seja, a partícula 1 está atrás da 2 a uma distância de | D | .

Se D > 0 quer dizer que s 1 < s 2 , ou seja, a partícula 2 está na frente da 1 a uma distância de D.

Passo 2

Para sabermos qual a maior distância entre as partículas, basta d D d t = 0

d D d t = d c o s   t + π 4 d t - d c o s t d t

d D d t =   - s e n t + π 4 + s e n t

  d D d t = 0

- s e n t + π 4 + s e n t = 0

Passo 3

Remanejando a equação anterior:

s e n t = s e n t + π 4

s e n t = s e n t c o s π 4 + c o s t s e n π 4

s e n t = s e n t 2 2 2 + c o s t 2 2 2

2 2 s e n t = s e n t + c o s t  

s e n t   2 2 - 1 = c o s t  

t g t = 1 2 2 - 1

t g t = 2 2 + 1

Passo 4

Encontrado que quando t satisfaz a equação t g t =   2 2 + 1 , a distância será máxima. Então, substituindo em D .

*Para encontrarmos s e n t   e   c o s t   , usaremos as seguintes equações trigonométricas:

t g ² t + 1 = 1 c o s ² t                       … e q u a ç ã o   I

E

s e n ² t + c o s ² t = 1             … e q u a ç ã o   I I

Usando a equação I, temos :

c o s ² t = 1 4 + 2 2 2

E com a equação II :

s e n ² t = 3 + 2 2 2 4 + 2 2 2  

Passo 5

Analisando a equação de D , para a distância ser máxima a condição tem que ser:

c o s t < 0   e   s e n t < 0 .

D =   c o s t 2 2 2 - 1   - 2 2 2 s e n t

D =   - 1 4 + 2 2 2 . 2 2 2 2 - 1   +   2 2 2 3 + 2 2 2 4 + 2 2 2   2

Resposta

D =   - 1 4 + 2 2 2 . 2 2 2 2 - 1   +   2 2 2 3 + 2 2 2 4 + 2 2 2   2

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