Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 4 n x n

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 n + 1 4 n + 1 x n + 1 - 1 n n 4 n x n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ∙ 4 n ∙ 4 ∙ x n ∙ x n 4 n x n

Portanto,

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ∙ 4 n ∙ 4 ∙ x n ∙ x n 4 n x n = 4 ∙ x ∙ lim n → ∞ ⁡ n + 1 n = 4 ∙ x

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para 4 ∙ x < 1 , ou seja, x < 1 / 4 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 1 / 4 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série converge para o intervalo - 1 4 , 1 4 em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 1 4 e x = 1 4 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = - 1 4 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ n , uma série divergente.

Já para x = 1 4 , ficamos com a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n , uma série também divergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = - 1 4 , 1 4

Resposta

R = 1 4   e   I = - 1 4 , 1 4

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞   c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da sér...
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln ⁡ n
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 0 ∞ x - 2 n n 2 + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n n x n
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n ! 2 x - 1 n
Use a série de potências para tg - 1 ⁡ x para demonstrar a seguinte expressão para π como a soma de uma série infinita π = 2 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 3 n
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ x n n
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 4 n x + 1 n