Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 0 ∞ x - 2 n n 2 + 1

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x - 2 n + 1 n + 1 2 + 1 x - 2 n n 2 + 1 = lim n → ∞ ⁡ ( x - 2 ) n ∙ ( x - 2 ) n + 1 2 + 1 ∙ n 2 + 1 x - 2 n

Resolvendo o limite acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( x - 2 ) n ∙ ( x - 2 ) n + 1 2 + 1 ∙ n 2 + 1 x - 2 n = x - 2 ∙ lim n → ∞ ⁡ n 2 + 1 n + 1 2 + 1 = x - 2

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para x - 2 < 1 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 1 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série convergirá para o intervalo em que x - 2 < 1 , ou seja, - 1 < x - 2 < 1 ↔ 1 < x < 3 ....Portanto, convergirá para o intervalo ( 1 , 3 ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = 1 e x = 3 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = 1 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ - 1 n n 2 + 1 , que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.

Já para x = 3 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ 1 n 2 + 1 , uma variação de uma p-série com p = 2 > 1 , e, portanto, uma série convergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = [ 1 , 3 ] .

Resposta

R = 1   e   I = [ 1 , 3 ]

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