Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n x n

Passo 1

Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.

Temos que

a n = - 1 n n x n

Então, fazemos

a n + 1 = - 1 n + 1 ( n + 1 ) x n + 1

Passo 2

Assim,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 ( n + 1 ) x n + 1 - 1 n n x n = lim n → ∞ ⁡ ( - 1 ) ( n + 1 ) n x = l i m n → ∞ 1 + 1 n x = 1 ⋅ x = | x |

Passo 3

Pelo teste da razão, a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n x n

Converge quando

x < 1

Passo 4

Então, o raio de convergência

R = 1

Agora vamos verificar os pontos de extremidade, ou seja,

x = ± 1

Ambas séries

∑ n = 1 ∞ - 1 n n ( ± 1 ) n = ∑ n = 1 ∞ ± 1 n n

Diverge pelo teste da divergência, uma vez que

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ | ± 1 n n | = ∞

Então, o intervalo de convergência é:

I = ( - 1,1 )

Resposta

R = 1

I = ( - 1,1 )

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