Enunciado

Encontre uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros x 2 + y 2 = 25 e y 2 + z 2 = 20 no ponto ( 3,4 , 2 ) .

Passo 1

Fala aí! Precisamos encontrar a equação para a reta tangente, certo?

Bom, vamos começar parametrizamos a curva da interseção, e vamos chamar ela de C , ok?

A projeção de C no plano x y vai estar contida no círculo:

x 2 + y 2 = 25

E nesse momento temos:

z = 0

Precisamos lembrar que, como temos um círculo, a gente pode parametrizar a partir da função seno e cosseno, ok? Vamos ficar com:

x = 5   c o s   t

y = 5   s e n   t

Tranquilo? Vamos continuar!

Passo 2

Bom, mas o outro cilindro também está contido, né? Então agora é a vez dele!

y 2 + z 2 = 20

E nesse caso, próximo do ponto dado, a gente pode ver que:

z   ≥   0

E por que isso é importante? Porque aí a gente pode fazer o seguinte:

z = 20 - y 2

E o y a gente já descobriu, né? Vamos substituir ele então:

z = 20 - 5   s e n   t 2  

z = 20 - 25 .   s e n 2   t  

Passo 3

Beleza! Agora já temos uma equação vetorial para a nossa intercessão, C , né? Vamos escrever ela aqui:

r t = 〈 5   c o s   t   ,   5   s e n   t   , 20 - 25 .   s e n 2 t   〉

Agora a gente precisa fazer a derivada da nossa equação, ok?

Vamos:

r ' ( t ) = 〈 - 5   s e n   t   ,   5   c o s   t   ,   1 2 20 - 25   s e n 2 t   - 1 / 2 . - 50   s e n   t   c o s   t   〉

Ficou meio estranha, né? Mas não se assusta não! Vamos continuar!

Passo 4

O ponto que nosso enunciado deu pra gente foi ( 3,4 , 2 ) , como fizemos a parametrização vamos ter que esse ponto corresponde a t = c o s - 1 3 5 , então o vetor tangente é:

r ' c o s - 1 3 5 = 〈 - 5   s e n c o s - 1 3 5 ; 5   c o s c o s - 1 3 5 ; 1 2 20 - 25 s e n 2 c o s - 1 3 5 - 1 / 2

. - 50 .   s e n c o s - 1 3 5 .   c o s c o s - 1 3 5   〉

r ' c o s - 1 3 5   = 〈 - 5 ⋅ 4 5   ;   5 ⋅ 3 5   ;   1 2 20 - 25 4 5 2 - 1 2 - 50 4 5 3 5 〉

r ' c o s - 1 3 5   = 〈 - 4 ,   3 ,   - 6 〉

Opa! Estamos quase lá! Sendo a linha tangente paralela a esse vetor e passando através dos pontos ( 3,4 , 2 ) , então a nossa equação vetorial para a linha será:

r t = 3 - 4 t i ^ + 4 + 3 t j ^ + 2 - 6 t k ^

Uhul! Show de bola! Conseguimos!

Resposta

r t = 3 - 4 t i ^ + 4 + 3 t j ^ + 2 - 6 t k ^

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