Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

∑ n = 2 ∞ x n ln ⁡ n n

Passo 1

Para obtermos o raio de convergência e o intervalo de convergência, é necessário utilizarmos o teste da razão. Ele nos diz que, se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L < 1

Então a série ∑ a n é convergente. Portanto, vamos checar se isto é verdade para a nossa função! Calculando o termo do limite inicialmente, temos:

a n + 1 a n = x n + 1 ln ⁡ n + 1 n + 1 ⋅ ln ⁡ n n x n = x ⋅ 1 ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n n ⋅ ln ⁡ n

Agora,

lim n → ∞ ⁡ x ⋅ 1 ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n n ⋅ ln ⁡ n = x ⋅ 1 lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n n ⋅ ln ⁡ n + 1

x ⋅ 1 ∞ = 0 < 1

Portanto, a série converge para qualquer valor de x ! Logo, o raio é infinito e o intervalo é todos os reais.

Resposta

Raio de convergência é . O intervalo de convergência é - ∞ < x < ∞ .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 37-40, encontre o raio de convergência da série. ∑ n = 1 ∞ n ! 3 * 6 * 9 * … * 3 n x n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ x n n ( ln ⁡ n ) 2
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ x n n n 3 n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de converg��ncia da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ n ! x - 4 n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x + 2 n n 2 n