Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ 3 n x + 4 n n

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1 x + 4 n + 1 n + 1 3 n x + 4 n n = lim n → ∞ ⁡ 3 n ∙ 3 ∙ ( x + 4 ) n ∙ ( x + 4 ) n + 1 ∙ n 3 n ∙ x + 4 n

Resolvendo o limite acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ 3 n ∙ 3 ∙ ( x + 4 ) n ∙ ( x + 4 ) n + 1 ∙ n 3 n ∙ x + 4 n = 3 ∙ x + 4 ∙ lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = 3 ∙ x + 4

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para 3 ∙ x + 4 < 1 , ou seja, para x + 4 < 1 3 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 1 3 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série convergirá para o intervalo em que x + 4 < 1 3 , ou seja, - 1 3 < x + 4 < 1 3 ↔ - 1 3 3 < x < - 11 3 ....Portanto, convergirá para o intervalo ( - 1 3 3 , - 11 3 ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = - 1 3 3 e x = - 11 3 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = - 1 3 3 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ - 1 n n , que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.

Já para x = - 11 3 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ 1 n , uma p-série com p = 1 2 < 1 , e, portanto, uma série divergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = - 13 3 , - 11 3 .

Resposta

R = 1 3   e   I = - 13 3 , - 11 3

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