Enunciado

No Exemplo 1 usamos as equações de Lotka-Volterra para modelar as populações de coelhos e lobos. Vamos modificar aquelas equações como a seguir:

d C d t = 0,08 C 1 - 0,0002 C - 0,001 C L  

d L d t =   - 0,02 L + 0,00002 C L

  1. De acordo com essas equações, o que acontece à população de coelhos na ausência dos lobos?
  2. Calcule as soluções de equilíbrio e explique seus significados.
  3. A figura mostra a trajetória de fase que começa no ponto ( 1000,40 ) . Descreva o que acabará ocorrendo com as populações de coelhos e lobos.
  4. Esboce os gráficos das populações de coelhos e lobos como funções do tempo.

Passo 1

  1. Queremos analisar as equações dadas e descobrir o que acontece com a população de coelhos quando a população de lobos for igual a 0 .
  2. Quando L = 0 , temos d C d t = 0,08 C ( 1 - 0,0002 C )

    Para que d C d t = 0 , precisamos que C = 0   o u   C = 5000 .

    Dessa forma, podemos pensar que se d C d t > 0 , para 0 < C < 5000 , nós esperamos que a população de coelhos cresça até 5000 , e se d C d t < 0 , para C > 5000 , podemos esperar que a população de coelhos diminua até 5000 . De qualquer forma, ela ficará estável em 5000 indivíduos.

    Passo 2

  3. Agora precisamos encontrar as soluções de equilíbrio.
  4. Bom, se L   e   C forem constantes, teremos d C d t = 0   e d L d t = 0

    Então:

    0 = 0,08 C 1 - 0,0002 C - 0,001 C L

    0 = C [ 0,08 1 - 0,00002 C - 0,001 L ]

    E

    0 = - 0,02 L + 0,00002 C L

    0 = L ( - 0,02 + 0,00002 C )

    L = 0   o u   C = 0,02 0,00002 = 1000

    Substituindo esses valores na primeira equação, descobrimos que se L = 0 , então C = 0   ou C = 1 0,0002 = 5000

    Agora, se L = 1000 , então

    0 = 1000 [ 0,08 1 - 0,0002   .   1000 - 0,001 L ]

    0 = 80 1 - 0,2 - L

    L = 64

    Fizemos muitas coisas! Vamos recapitular nossos resultados com calma, temos 3 soluções de equilíbrio:

    Caso (i): L = 0 ,   C = 0

    Caso (ii): L = 0 ,   C = 5000   (como calculamos no item (a))

    Caso (iii): L = 64 ,   C = 1000

    Passo 3

  5. Neste item, nós queremos descrever o que acontecerá com a população de coelhos e lobos ao passar do tempo.
  6. Então vamos olhar nosso gráfico:

    Inicialmente temos 40 lobos e 1000 coelhos, ambas as populações vão aumentando, até que a população de coelhos atinge seu máximo em cerca de 1700 , então a população de lobos continua a aumentar e a de coelhos começa a diminuir. A população de lobos cresce até atingir seu máximo em 80 (aproximadamente), depois ambas as populações diminuem e começam a oscilar entre diminuírem e aumentarem, até ficarem estáveis em cerca de 64 lobos e 1000 coelhos.

    Passo 4

  7. Agora precisamos desenhar um gráfico que descreva nossa explicação do item (c), assim ficamos com:

Resposta

  1. Ela ficará estável em 5000 indivíduos.
  2. Caso (i): L = 0 ,   C = 0

Caso (ii): L = 0 ,   C = 5000   (como calculamos no item (a))

Caso (iii): L = 64 ,   C = 1000

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices u x x x x + u y y y y + 2 u x x y y = 0
Em cada um dos problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices u x x + u y y + u z z = 0
Em cada um dos problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices u t + u u x = u x x + 1
Em cada um dos problemas de 25 a 28, verifique se cada função dada é solução da equação diferencial parcial dada u x x + u y y = 0, u 1 x , y = c o s x c o s h y , u 2 = ln ⁡ ( x 2 + y 2 )
Equações sem a Variável Independente. Considere equações de segunda ordem da forma y ' ' = f y , y ' , na qual a variável independente t não aparece explicitamente. Se definirmos v = y ' , obteremos d