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As populações de pulgões e joaninhas são modeladas pelas equações

d P d t = 2 P - 0,01 P J

d J d t = - 0,5 J + 0,0001 P J

  1. Calcule as soluções de equilíbrio e explique seu significado.
  2. Encontre uma expressão para d J d P .
  3. O campo de direções para a equação diferencial na parte (b) é mostrado. Use-o para esboçar um retrato de fase. O que as trajetórias de fase têm em comum?
  4. Suponha que no instante t = 0 existam 1000 pulgões e 200 joaninhas. Desenhe a trajetória de fase correspondente e use-a para descrever como as populações variam.
  5. Use a parte (d) para fazer esboços das populações de pulgões e joaninhas como fuções de t . Como os gráficos estão relacionados?

Passo 1

  1. Queremos encontrar as soluções de equilíbrio para as equações
  2. d P d t = 2 P - 0,01 P J

    d J d t = - 0,5 J + 0,0001 P J

    Uma solução de equilíbrio acontece quando a derivada da função é igual a 0 . Então se P e J   são constantes, d P d t = 0   e d J d t = 0 , e P = 0 , olhando para a segunda equação, ficamos com:

    0 = - 0,5 J + 0,00001 0 J = - 0,5 J

    Então J = 0 .   Portanto, P , J = ( 0,0 ) é uma solução de equilíbrio.

    Por outro lado, se d P d t = 0 :

    2 P = 0,01 P J

    J = 200

    Quando J = 200 e P for uma constante, temos:

    0 = - 0,5 200 + 0,00001 P 200 = - 100 + 0,02 P

    0,02 P = 100

    P = 5000

    Então outra solução de equilíbrio é P , J = ( 5000,200 )

    Passo 2

  3. Agora precisamos encontrar uma expressão que nos forneça a variação da quantidade de joaninhas com relação aos pulgões, ou seja, queremos encontrar d J d P .
  4. Bom, para encontrar isso, podemos fazer d J d P = d J d t x d t d A

    d J d P = ( - 0,5 J + 0,00001 P J ) x 1 2 P - 0,01 P J = - 0,5 J + 0,00001 J P 2 P - 0,01 J P

    d J d P =   - 0,5 J + 0,00001 J P 2 P - 0,01 J P

    Passo 3

  5. Queremos usar o campo de direções dado para esboçar um retrato de fase, para isso, basta pegar o campo e traçar várias curvas acompanhando as direções. Assim,
  6. O que podemos perceber é que o ponto de equilíbrio, P , J = 5000,200 , está dentro de todas as trajetórias de fase.

    Passo 4

  7. Suponha que no instante t = 0 existam 1000 pulgões e 200 joaninhas. Queremos desenhar a trajetória de fase correspondente e usá-la para descrever como as populações variam.
  8. Bom, assim como no item (c), basta pegarmos o campo de direções, marcar o ponto inicial P , J = ( 1000,200 ) , e traçar uma curva seguindo as direções.

    Passo 5

  9. Agora, nós queremos usar o gráfico do item (d) para fazer o gráfico das populações ao passar do tempo. Ao interpretar os números da curva, ficamos com o seguinte gráfico:

A relação que podemos observar entre as duas curvas é que o período de repetição entre elas é o mesmo

Resposta

  1. P , J = ( 5000,200 ) e P , J = ( 0,0 )
  2. d J d P =   - 0,5 J + 0,00001 J P 2 P - 0,01 J P

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