Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = 2 3 - x

Passo 1

Beleza, pessoal? Que tal reescrever a função dividindo o numerador e o denominador por 3 ?

f x = 2 3 1 - x 3

Veja que a expressão da função agora pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo 2 3 e razão x 3   , ou seja:

f x = 2 3 + 2 9 x + 2 27 x 2 + …

E isso nos dá exatamente a série de potências:

f x = ∑ n = 0 ∞ 2 3 x 3 n = ∑ n = 0 ∞ 2 3 n + 1 x n

Passo 2

Como a razão da série geométrica é x 3   , temos que ter, pra série convergir:

x 3 < 1

x 3 < 1

x < 3

Ou seja, o intervalo de convergência é - 3 ,   3 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ 2 3 n + 1 x n

( - 3 ,   3 )

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