Enunciado

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ ( 4 x - 5 ) 2 n + 1 n 3 / 2

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Ou:

l i m n → ∞ ( 4 x - 5 ) 2 n + 3 ( n + 1 ) 3 / 2 * n 3 / 2 ( 4 x - 5 ) 2 n + 1 < 1

Desenvolvendo matematicamente, chegamos em:

4 x - 5 2 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n 3 / 2 < 1

Ou seja:

4 x - 5 2 < 1

Logo:

4 x - 5 < 1

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

- 1 < 4 x - 5 < 1

Isolando a incógnita no meio:

1 < x < 3 2

Logo, quando x = 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 2 n + 1 n 3 / 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 / 2 → s é r i e   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e  

E quando x = 3 / 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 n 3 / 2 → p - s é r i e   c o n v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 / 4 , e o intervalo de convergência da mesma é
  2. 1 ≤ x ≤ 3 2

  3. O intervalo de convergência absoluta da série é
  4. 1 ≤ x ≤ 3 2

  5. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 / 4 , e o intervalo de convergência da mesma é
  2. 1 ≤ x ≤ 3 2

  3. O intervalo de convergência absoluta da série é
  4. 1 ≤ x ≤ 3 2

  5. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

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