Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = 1 1 + x

Passo 1

Beleza, pessoal? Que tal reescrever a função assim:

f x = 1 1 - ( - x )

Veja que a expressão da função pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo 1 e razão - x , ou seja:

f x = 1 - x + x 2 - x 3 + …

E isso nos dá exatamente a série de potências:

f x = ∑ n = 0 ∞ ( - x ) n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n

Passo 2

Como a razão da série geométrica é - x , temos que ter:

- x < 1

x < 1

Ou seja, o intervalo de convergência é - 1 ,   1 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n

( - 1 ,   1 )

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