Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = x 2 a 3 - x 3

Passo 1

Beleza, pessoal? Que tal reescrever a função assim:

f x = x 2 a 3 1 - x 3 a 3

Veja que a expressão da função agora pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo x 2 a 3 e razão x 3 a 3 , ou seja:

f x = x 2 a 3 + x 5 a 6 + x 8 a 9 + …

E isso nos dá exatamente a série de potências:

f x = ∑ n = 0 ∞ x 2 a 3 x 3 a 3 n = ∑ n = 0 ∞ 1 a 3 n + 3 x 3 n + 2

Passo 2

Show! Como a razão da série geométrica é x 3 a 3   , temos que ter, pra série convergir:

x 3 a 3 < 1

x 3 a 3 < 1

x 3 < a 3

x < a

Ou seja, o intervalo de convergência é - a , a , se a > 0 , ou a ,   - a , se a < 0 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 a 3 n + 3 x 3 n + 2

  - a , a           o u           ( a ,   - a )

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