Enunciado

Teste a convergência ou divergência das séries.

sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^n (n)/(n + 2)

Passo 1

Pessoal, aqui se trata de uma série alternada, então vamos usar o Teste da Série Alternada. Um dos requisitos desse teste para que essa série seja convergente é que o limite de b_n seja zero. Vamos ver se isso acontece?

underset(n -> oo)(l i m) b_n = underset(n -> oo)(l i m) (n)/(n + 2) = underset(n -> oo)(l i m) (1)/(1 + (2)/(n)) = (1)/(1 + 0) = 1

Não! O limite não é 0 , então não podemos afirmar que é convergente por meio desse teste.

Passo 2

Agora vamos tentar mostrar que a série é divergente, usando o Teste para Divergência:

underset(n -> oo)(l i m) a_n = underset(n -> oo)(l i m) (- 1)^n b_n = (underset(n -> oo)(l i m) b_n) underset(n -> oo)(l i m) (- 1)^n = 1 . underset(n -> oo)(l i m) (- 1)^n = underset(n -> oo)(l i m) (- 1)^n

Como o limite não existe, a série é divergente pelo Teste para Divergência.

Resposta

Série divergente

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