Enunciado

Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.

∑ n = 1 ∞ 12 - 5 n

Passo 1

Hey, pessoal! Bora calcular as primeiras dez somas parciais da série?

S 1 = a 1 = 12 - 5 1 = - 12 5 = - 2,4 0000

S 2 = a 1 + a 2 = - 2,4 + 12 - 5 2 = - 1,92000

S 3 = a 1 + a 2 + a 3 = S 2 + a 3 = - 1,92 + 12 - 5 3 = - 2,01600

S 4 = S 3 + a 4 = - 2,016 + 12 - 5 4 = - 1,99680

S 5 = - 2,00064

S 6 = - 1,99987

S 7 = - 2,00003

S 8 = - 1,99999

S 9 = - 2,00000

S 10 = - 2,00000

Passo 2

Show! Agora vamos fazer o gráfico da sequência de termos a 1 , a 2 , … e o gráfico da sequência de somas parciais S 1 , S 2 ,   … :

Olhando pro gráfico da sequência de termos, ele parece convergir pra 0 , que seria uma condição necessária (mas não suficiente) pra série convergir.

E se a gente olhar pro gráfico da sequência de somas parciais, ele parece convergir pra - 2 , então parece que a série é convergente com soma - 2 . Será mesmo?

Passo 3

Pra confirmar nossa observação do gráfico, vamos calcular a soma da série:

∑ n = 1 ∞ 12 - 5 n = ∑ n = 1 ∞ 12 - 1 5 n

Olha só, isso é a soma infinita de uma progressão geométrica com r = - 1 5 < 1 . O primeiro termo é a 1 = - 12 5 , então:

∑ n = 1 ∞ 12 - 5 n = a 1 1 - r = - 12 5 1 - - 1 5 = - 12 5 6 5 = - 12   .   5 5   .   6 = - 2

Como havíamos previsto, né?

Resposta

Série convergente

∑ n = 1 ∞ 12 - 5 n = - 2

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