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Encontre uma representação em série de potências para f , trace f e várias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta?

f x = ln ⁡ ( x 2 + 4 )

Passo 1

Pessoal, pra achar uma representação de f em série de potências, vamos usar o seguinte:

ln ⁡ ( x + 4 ) = ∫ 1 x + 4   d x = ∫ 1 4 - ( - x )   d x = ∫ 1 4 1 - - x 4   d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ 1 4 - x 4 n d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 n + 1 x n d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 n + 1 x n + 1 n + 1

Se fizermos x = 0 , descobriremos o valor da constante de integração C = ln ⁡ 0 + 4 = ln ⁡ 4 , então,

ln ⁡ ( x + 4 ) = ln ⁡ 4 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 n + 1 x n + 1 n + 1

Passo 2

Beleza! Agora, não faz diferença se trocarmos x por x 2 na equação acima, e assim descobriremos a expressão para f x :

ln ⁡ ( x 2 + 4 ) = ln ⁡ 4 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 n + 1 x 2 n + 1 n + 1

f x = ln ⁡ 4 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( n + 1 ) 4 n + 1 x 2 n + 2

Passo 3

Show! Agora vamos traçar f e várias somas parciais a partir da série de potências encontrada no passo anterior:

Perceba que, à medida que n aumenta, as somas parciais s n x se aproximam cada vez mais de f no intervalo de convergência, ou seja, quando x < 2 .

Resposta

f x = ln ⁡ 4 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( n + 1 ) 4 n + 1 x 2 n + 2

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