Enunciado

Encontre y ' e   y ' '

y = l n ⁡ ( sec ⁡ x + tan ⁡ x   )  

Passo 1

Nessa questão temos a função

y = l n ⁡ ( sec ⁡ x + tan ⁡ x   )  

E queremos encontrar a sua primeira derivada e a sua segunda derivada.

Olhando para a função vemos que ela é dada pela composição de duas funções, sendo elas:

f x = ln ⁡ x

g x = s e c x + t a n x  

Obtendo:

f g x = ln ⁡ s e c x + t a n x

E de acordo com a regra da cadeia, temos que a derivada vai ser:

y ' = f ' g x g ' x

Por fim, vamos dar uma olhada nas derivadas dessas funções aí

Seja,

u = sec ⁡ x  

Então, sabemos que a derivada é

u ' = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x  

Agora, seja,

v = tan ⁡ x  

Então, sabemos que a derivada é

v ' = sec 2 ⁡ x

(isso tudo é tabelado tá... as vezes é bom ter de cor, por que pode ser que seu professor cobre na sua prova...)

Ah, e a função ln fica sendo:

w = ln ⁡ x

w ' = 1 x

Bom, vamos resolver então

Passo 2

Agora, podemos calcular y ' utilizando a regra da cadeia, então

y = l n ⁡ ( sec ⁡ x + tan ⁡ x   )  

f x = ln ⁡ x

g x = s e c x + t a n x  

y ' = f ' g x g ' x

A derivada do ln ⁡ x é 1 / x , dessa forma, quando temos ln ⁡ s e c x + t a n x , teremos 1 s e c x + t a n x

y ' = 1 sec ⁡ x + tan ⁡ x   s e c x + t a n x   '

E a derivada da secante e da tangente eu falei no final do passo 1, portanto:

y ' = 1 sec ⁡ x + tan ⁡ x   sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x + sec 2 ⁡ x

y ' = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x + sec 2 ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x

Podemos colocar sec ⁡ x em evidência:

y ' = sec ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x

E simplificar esse cara:

y ' = sec ⁡ x

Beleza?

Passo 3

Agora, só precisamos derivar mais uma única vez essa função para obter a segunda derivada:

y ' ' = ( sec ⁡ x ) '

y ' ' = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x

E pronto! Acabamos o exercício! 😊

Resposta

y ' = sec ⁡ x

y ' ' = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x

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