Enunciado

Meteorito em queda. Quando um meteorito pesado está a s quilômetros do centro da Terra sua velocidade de entrada na atmosfera é inversamente proporcional a s . Mostre que a aceleração do meteorito é inversamente proporcional a s 2

Passo 1

Primeiramente, vamos definir o que são grandezas inversamente proporcionais. Duas grandezas x e y são inversamente proporcionais se, dado k ∈ R , elas podem ser escritas por:

x = k y

Agora, para resolvermos esta questão, precisamos obter a função da aceleração. Entretanto, muita calma nessa hora! Neste momento você já deve estar acostumado em obter a aceleração da seguinte forma:

a = d v d t = d 2 s d t 2

Observe que a relação acima é a taxa de variação em relação ao tempo!!! Observe calmamente que a função de velocidade foi em função da posição s da nossa partícula. Então, a relação acima não pode ser utilizada. Para calcularmos a aceleração, devemos utilizar outra relação de cinética de partículas, a que não relaciona tempo. Para isto, temos:

v ⋅ d v = a ⋅ d s

a = v ⋅ d v d s

Portanto, precisamos derivar a velocidade em relação a s e depois multiplicar pela velocidade.

Passo 2

Vamos determinar a função da velocidade. Se ela é inversamente proporcional a s , ela pode ser escrita por:

v = k s

Passo 3

Agora, vamos determinar a derivada da velocidade em relação a posição da partícula, isto é, d v / d s . Desta forma, temos:

d v d s = k ⋅ - 1 2 ⋅ s - 3 2 = - k 2 ⋅ s - 3 2 = - k 2 s 3

Passo 4

Agora, basta realizamos a multiplicação.

a = k s ⋅ - k 2 s 3 = - k 2 2 s 4

a = - k 2 s 2

Desta forma, provamos que a aceleração da nossa partícula é inversamente proporcional a s 2 !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y=log 4 ⁡ x + log 4 ⁡ x 2
Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y=log 5 ⁡ e x
Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y=log 7 ⁡ sin ⁡ θ .cos ⁡ θ e θ .2 θ