Enunciado

Encontre y^' e y^(' ') :

y = (d)/(d x) ln (x + sqrt(1 + x^2))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a primeira e a segunda derivada da seguinte função:

y = ln (x + sqrt(1 + x^2))

Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, onde temos que se:

F (x) = f ( g (x) )

Então:

F^' (x) = f^' (g (x)) . g ' ( x )

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Assim, aplicando a regra da cadeia, fazendo u = x + sqrt(1 + x^2) , temos:

y^' = (d)/(d u) (ln u) (d)/(d x) (x + sqrt(1 + x^2)) :.

y^' = (1)/(u) * (d)/(d x) (x + sqrt(1 + x^2)) :.

y^' = (1)/(x + sqrt(1 + x^2)) * (d)/(d x) (x + sqrt(1 + x^2))

Passo 3

Aplicando a regra da soma para derivarmos (d)/(d x) (x + sqrt(1 + x^2)) , temos:

(d)/(d x) (x + sqrt(1 + x^2)) = (d)/(d x) (x) + (d)/(d x) (sqrt(1 + x^2)) :.

(d)/(d x) (x + sqrt(1 + x^2)) = 1 + (d)/(d x) (sqrt(1 + x^2))

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, fazendo u = 1 + x^2 , temos:

(d)/(d x) (x + sqrt(1 + x^2)) = 1 + [(d)/(d u) u^((1)/(2)) (d)/(d x) (1 + x^2)] :.

(d)/(d x) (x + sqrt(1 + x^2)) = 1 + [((1)/(2 u^(1 // 2))) (2 x)] :.

(d)/(d x) (x + sqrt(1 + x^2)) = 1 + [((1)/(2 sqrt(1 + x^2))) (2 x)] :.

(d)/(d x) (x + sqrt(1 + x^2)) = 1 + [((2 x)/(2 sqrt(1 + x^2)))] :.

(d)/(d x) (x + sqrt(1 + x^2)) = 1 + (x)/(sqrt(1 + x^2))

Passo 5

Substituindo o resultado na expressão do Passo 2, temos:

y^' = (1)/(x + sqrt(1 + x^2)) * (d)/(d x) (x + sqrt(1 + x^2)) :.

y^' = (1)/(x + sqrt(1 + x^2)) * {1 + (x)/(sqrt(1 + x^2))} :.

y^' = (1)/(sqrt(1 + x^2))

Agora vamos calcular a segunda derivada a partir de y ' .

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia fazendo u = 1 + x^2 , temos:

y^(' ') = (d)/(d u) sqrt(u) * (d)/(d x) (1 + x^2) :.

y^(' ') = - (1)/(2) * (1 + x^2)^(- (3)/(2)) * 2 x

y^(' ') = - x * (1 + x^2)^(- (3)/(2)) :.

y^(' ') = - (x)/((1 + x^2)^((3)/(2)))

Resposta

y^' = (1)/(sqrt(1 + x^2))

y^(' ') = - (x)/((1 + x^2)^((3)/(2)))

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