Enunciado

Encontre a sére de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = c o s 3 x

Passo 1

Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de n:

Passo 2

Podemos escrever f(x) como:

c o s 3 x = f 0 + f ' 0 x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 !   x 3 + f 4 ( 0 ) 4 ! x 4 + f 5 ( 0 ) 5 ! x 5 + ⋯  

Usando os dados do passo 1, temos:

c o s 3 x = 1 + 0 - 3 2 2 ! x 2 + 0 + 3 4 4 ! x 4 + 0 + ⋯

Podemos então representar essa expressão em termos da série:

∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 3 2 n   x 2 n 2 n !

Para encontrarmos o raio de convergência, podemos fazer

lim n → ∞ ⁡ a n + 1   a n = lim n → ∞ ⁡ 3 2 n + 2 x 2 n + 2 2 n + 2 ! ⋅ 2 n ! 3 2 n x 2 n     = lim n → ∞ ⁡ 9 x 2 2 n + 2 ( 2 n + 1 ) = 0 < 1

Dessa forma, temos que o raio de convergência é R = ∞ .

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 3 2 n   x 2 n 2 n !

R = ∞

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