Enunciado

Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a .

31. f x = cos ⁡ 2 x + π 2 ,   a = π 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, vamos relembrar como a série de Taylor definida por f em x = a :

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … + 1

onde a função f tem derivadas de todas as ordens em torno do ponto a.

No início do problema, vamos verificar se a função f é contínua em todos os pontos ao redor de x = π 4 . Como a função ff é uma função cosseno, ela é contínua para todo número real x e também para x = π 4 .

Para determinar a série de Taylor de f em x = π 4 , precisamos determinar as derivadas da função f.

Antes de determinarmos as derivadas da função f, vamos relembrar a fórmula que converte cosseno em seno:

cos ⁡ x + π 2 = - sen ⁡ x

Portanto, escrevemos a função f como:

f x = - sen ⁡ 2 x

Como a função f foi criada pela composição da função seno e 2 x , então vamos diferenciar a função f usando a Regra da Cadeia:

f ' x = - cos ⁡ 2 x ∙ 2 x ' = - 2 cos ⁡ 2 x

Se continuarmos a diferenciar a expressão anterior, obteremos a segunda, terceira, quarta, etc. derivada da função f :

f ' ' x = - 2 ∙ - sen ⁡ 2 x ∙ 2 x ' = 4 sen ⁡ 2 x

f ' ' ' x = 4 cos ⁡ 2 x ∙ 2 x ' = 8 cos ⁡ 2 x

f 4 x = 8 ∙ - sin ⁡ 2 x ∙ 2 x ' = - 16 sen ⁡ ( 2 x )

f 5 x = - 16 cos ⁡ 2 x ∙ 2 x ' = - 32 cos ⁡ 2 x

f 6 x = - 32 ∙ - sin ⁡ 2 x ∙ 2 x ' = 64 sen ⁡ ( 2 x )

A função cosseno aparece sempre que temos uma derivada ímpar, e a função seno quando temos uma derivada par. A seguir, tentaremos derivar a forma geral quando a derivada for par, ou seja, quando k = 2 n . Do passo anterior, vamos extrair apenas as derivadas pares e escrevê-las na forma k = 2 n . concluímos que a derivada par da função f pode ser escrita como:

f 2 n x = - 1 n + 1 ∙ 2 2 n sen ⁡ 2 x     ( 2 )

Passo 2

Se nós incluímos x = π 4 em cos ⁡ 2 x , nós obtemos que

cos ⁡ 2 ∙ π 4 = cos ⁡ π 2 = 0

A partir disso, concluímos que não é necessário determinar a forma geral da derivada ímpar da função f porque ela sempre será válida:

f 2 n + 1 π 4 = 0

Anteriormente, vimos que apenas derivadas pares da forma k = 2 n “sobrevivem” em x = π 4 , portanto, podemos colocar o somatório na expressão (1) por n

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = ∑ n = 0 ∞ f 2 n a ( 2 n ) ! x - a 2 n = f 0 a 0 ! x 0 + f 2 a 2 ! x 2 + f 4 a 4 ! x 4 + … ( 3 )

Incluindo x = π / 4 ​ na notação geral da derivada par da função f , obtemos:

f 2 n π 4 = - 1 n + 1 ∙ 2 2 n ∙ sen ⁡ 2 ∙ π 4

Desenvolvendo um pouco mais os termos

f 2 n π 4 = - 1 n + 1 ∙ 2 2 n ∙ sen ⁡ π 2 = - 1 n + 1 ∙ 2 2 n

Incorporando o f 2 n π 4 obtido na expressão (3), obtemos a série de Taylor:

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = ∑ n = 0 ∞ f 2 n a ( 2 n ) ! x - a 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 2 2 n 2 n ! x - π 4 2 n

Resposta

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = ∑ n = 0 ∞ f 2 n a ( 2 n ) ! x - a 2 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 2 2 n 2 n ! x - π 4 2 n

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