Enunciado

Encontre a série de Maclaurin para f ( x ) usando a definição da série de Maclaurin. [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = senh ⁡ x

Nesse caso, temos que:

f n 0 = 0 ,       s e   n   f o r   í m p a r 1 ,       s e   n   f o r   p a r

Dessa forma, a série de Maclaurin será dada por:

senh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 !

Passo 2

Sendo assim, pelo método da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 3 2 n + 3 ! . 2 n + 1 ! x 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ x 2 ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 2 ) = 0

Passo 3

Dessa forma, temos que, para convergência:

0 < 1

E, consequentemente, como a condição é válida para todos os valores de x , logo:

R = ∞

Resposta

∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 !

R = ∞

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